오일러 미분 방정식의 풀이

오일러 미분 방정식의 풀이

정의

다음과 같은 꼴의 미분 방정식을 오일러 미분 방정식 혹은 오일러-코시 방정식이라 한다.

$$ \begin{equation} a_{2}x^{2}\frac{ d ^{2 }y}{ dx^{2} }+a_{1}x\frac{ d y}{ d x }+a_{0}y=0 \end{equation} $$

설명

우변이 $0$이 아닌 비동차 방정일 경우에는 $x=e^{z}$로 치환해서 풀면 된다.

풀이

계산의 편의를 위해 $(1)$의 양 변을 $a_{2}$로 나누고 나머지 두 항의 계수를 다시 $a_{1}$, $a_{0}$라고 하자. 그러면

$$ x^{2}\frac{ d ^{2 }y}{ dx^{2} } + a_{1}x\frac{ d y}{ d x } + a_{0}y = 0 $$

미분 방정식을 잘 보면 두번미분하고 2차항을 곱한 항과 1번 미분하고 1차항을 곱한 항과 원래 함수를 더해서 $0$이된다. 따라서 해를 다음과 같다고 둘 수 있다.

$$ y=x^{r} $$

미분 방정식에 대입하면

$$ \begin{align*} r(r-1)x^{r}+a_{1}rx^{r}+a_{0}x^{r}=0 \\ [r(r-1)+a_{1}r+a_{0}]x^{r}=0 \\ [r^{2}-(a_{1}-1)r+a_{0}]x^{r}=0 \end{align*} $$

$x^{r}\ne0$이므로 $r^{2}-(a_{1}-1)r+a_{0}=0$이다. 이는 간단한 2차 방정식으로 그 해는

$$ r=\frac{-(a_{1}-1)\pm \sqrt{(a_{1}-1)^{2}-4a_{0}}}{2} $$

두 해를 각각 $r_{1}$, $r_{2}$라고 하자. 두 근의 상태에 따라서 미분 방정식의 해가 달라진다.

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