클레로 미분방정식의 풀이

클레로 미분방정식의 풀이

정의

아래의 1계 비선형 미분방정식을 클레로 방정식Clairaut equation이라 한다.

$$ y=xy^\prime+f(y^\prime ) $$

설명

클레로 미분방정식은 같은 비선형 미분방정식인 베르누이 미분방정식이나 리카티 미분방정식 보다는 풀기 쉬운 편이다.

풀이

주어진 미분방정식 $y=xy^\prime+f(y^\prime )$의 양변을 미분한 뒤 정리한다.

$$ \begin{align*} && y^\prime = y^\prime+xy^{\prime \prime} + y^{\prime \prime}f^\prime(y^\prime ) \\ \implies && xy^{\prime \prime} + y^{\prime \prime}f^\prime(y^\prime )=0 \\ \implies && y^{\prime \prime} \left[ x + f^\prime ( y^\prime) \right]=0 \end{align*} $$

아래의 예제를 통해 자세한 풀이법을 확인해보자.

예제

미분방정식 $y = xy^\prime + (y^\prime )^2$을 풀어라.

양 변을 미분하면

$$ \begin{align*} &&y^\prime =y^\prime + xy^{\prime \prime} + y^{\prime \prime}2y^\prime \\ \implies && xy^{\prime \prime} + 2y^{\prime \prime}y^\prime =0 \\ \implies && y^{\prime \prime} \left[ x+2y^\prime \right] =0 \end{align*} $$

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