파동방정식에 대한 코시 문제의 풀이

파동방정식에 대한 코시 문제의 풀이

설명

$$ \begin{cases} u_{tt} = c^2 u_{xx} \\ u(0,x) = f(x) \\ u_{t}(0,x) = g(x) \end{cases} $$

위 식은 다음과 같은 파동 방정식

$$ \rho (x) {{\partial^2 u} \over {\partial t^2}} = {{ \partial } \over {\partial x}} \left( \kappa (x) {{ \partial u } \over { \partial x }} \right) $$

에서 밀도density $\rho (x) > 0$ 와 강도stiffness $\kappa (x) > 0$ 가 모두 상수인 경우로써 $\displaystyle c : = {{\kappa} \over {\rho}}$ 를 파속wave speed이라 한다.

여기서 $t$ 는 시간, $x$ 는 위치, $u(t,x)$ 는 시간 $t$ 일 때의 파형을 나타낸다. 여기서 $t$는 시간, $x$는 위치, $u(t,x)$는 시간 $t$일 때 $x$에서의 파형을 나타낸다. $f$와 $g$는 초기 조건으로써 특히 $f$는 $t=0$일 때의 파형을 나타낸다.

코시 문제란 초기값이 주어진 파동방정식 중에서도 경계 조건이 없는 경우를 말한다. 이 때의 해는 간단한 공식의 형태로 나타나며, 이를 달랑베르의 공식d’Alembert’s formula이라 부른다.

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