베르누이 미분방정식의 풀이

베르누이 미분방정식의 풀이

solution of bernoulli differential equation

정의

아래의 1계 비선형 미분방정식을 베르누이 방정식Bernoulli equation이라 한다.

$$ y^\prime + p(x)y = q(x)y^n $$

이 때 $n$은 $2$이상의 정수이며, $n=0,\ 1$일 때는 선형 방정식이다.

설명

참고로 베르누이 미분방정식의 베르누이와 널리 알려진 유체역학의 베르누이 방정식의 베르누이는 다른 사람이다. 베르누이 가문이 워낙 수학, 과학으로 뛰어난 사람이 많았던 가문인지라 베르누이라는 이름이 붙은 공식이나 정리가 많다. 더 많은 내용이 궁금하다면 여기를 참고하면 좋다.

베르누이 미분방정식은 비선형 미분방정식이다. 비선형 방정식을 푸는 것은 매우 어렵기 때문에 약간의 트릭이 필요하다. 베르누이 미분방정식을 푸는 트릭은 치환을 이용해서 비선형인 식을 선형으로 만들어 주는 것이다.

풀이

  • Step 1.

    우리가 찾는 해 $y$는 $y \ne 0$이므로 미분방정식의 양변을 $y^n$으로 나눠주면

    $$ y^{-n}y^\prime + py^{1-n}=q $$

  • Step 2.

    $u \equiv y^{1-n}$이라 치환하자. 그러면

    $$ \dfrac{du}{dx}=(1-n)y^{-n}\dfrac{dy}{dx} \\ \implies \dfrac{1}{1-n}\dfrac{du}{dx}=y^{-n}\dfrac{dy}{dx} $$

    주어진 미분방정식에 대입하면

    $$ \begin{align*} && \dfrac{1}{1-n}\dfrac{du}{dx} + pu=q \\ \implies && u^\prime + (1-n)pu=(1-n)q \end{align*} $$

  • Step 3.

    이는 주어진 미분방정식이 1계 선형 미분방정식이 됐으므로 $u$의 일반해를 구한다. 그리고 난 후 $u=y^{1-n}$을 대입하면 최종적으로 $y$의 일반해를 구할 수 있다.

예제

미분방정식 $y^\prime = Py-Qy^2$를 풀어라.

주어진 미분방정식은 베르누이 미분방정식에서 $n=2$인 경우이다. 양변에 $-y^{-2}$를 곱하고 이항하여 정리하면

$$ -y^{-2} y^\prime +Py^{-1} = Q $$

미분방정식을 풀기 위해 $u=y^{1-n}=y^{-1}$로 치환하면

$$ \dfrac{du}{dx}=-y^{-2}\dfrac{dy}{dx} $$

미분방정식에 대입하면 아래의 식을 얻는다.

$$ \dfrac{du}{dx}+Pu=Q $$

1계 미분방정식의 풀이법으로 $u$를 구하면

$$ \begin{align*} u&=e^{-\int Pdx} \left[ \displaystyle \int e^{\int P dx}Q dx+ C \right] \\ &= e^{-Px} \left[ \int e^{Px}Qdx +C\right] \\ &= e^{-Px}\dfrac{Q}{P}e^{Px} + Ce^{-Px} \\ &=\dfrac{Q}{P}+Ce^{-Px} \end{align*} $$

$u=y^{-1}$이므로 최종적으로 $y$를 구하면

$$ y=u^{-1}=\dfrac{1}{\frac{Q}{P}+Ce^{-Px}} $$

댓글