경계의 매끄러움

경계의 매끄러움

Smoothness of Boundaries

정의1

$U \subset \mathbb{R}^{n}$를 유계열린 집합이라고 하자. $\partial U$를 $U$의 바운더리라고 하자. 바운더리의 각 점 $x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in \partial U$에 대해서 다음을 만족하는 $C^{k}$ 함수 $\gamma = \mathbb{R}^{n-1} \to \mathbb{R}$이 존재하면, ‘바운더리 $\partial U$가 $C^{k}$이다’ 라고 한다.

$$ \gamma(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n-1}) = x_{n} $$

설명

정의의 조건을 다르게 말하면, 아래 등식이 성립하게끔 하는 $C^{k}$ 함수 $\gamma$가 존재하는 것이다. $x \in \partial U$에 대해서,

$$ U \cap B(x,r) = \left\{ y \in B(x,r) \vert y_{n} \gt \gamma(y_{1},\dots,y_{n-1}) \right\} $$

$\gamma$를 $\partial U$ 전체에서 정의된 함수로 두지 않는 이유는 아래 그림과 같이 한 점에서 두 개 이상의 함숫값을 가질 수 있기 때문이다. 2차원과 3차원에 대해서 그림으로 나타내면 다음과 같다.

1.PNG


  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p712-713 ↩︎

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