SIS 모델: 재감염과 고질병

SIS 모델: 재감염과 고질병

개요

SIS 모델은 전염이나 정보의 확산에서 면역, 무관심 등을 고려하지 않는 모델이다. 주로 유행병Epidemic이 아닌 풍토병Endemic, 예를 들어 감기, 독감, 성병, 말라리아 등이 SIS 로 모델링될 수 있다.

모델 1

SIS.png

$$ \begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - {{ \beta } \over { N }} I S + \gamma I \\ {{d I} \over {d t}} =& {{ \beta } \over { N }} S I - \gamma I \end{align*} $$

변수

파라메터

기초감염재생산수

$$\mathcal{R}_{0} = {{ \beta } \over { \gamma }}$$

정리

SIS 모델은 본질적으로 로지스틱 성장 모델이다.

증명 2

$$ {{d I} \over {d t}} = {{ \beta } \over { N }} S I - \gamma I $$ $S = N - I$ 이므로 $$ \begin{align*} {{d I} \over {d t}} =& {{ \beta } \over { N }} ( N - I ) I - \gamma I \\ =& \left( (\beta - \gamma) - {{ \beta } \over { N }} I \right) I \end{align*} $$

로지스틱 성장 모델: $$ N' = {{ r } \over { K }} N ( K - N) $$

감염자 $I$ 를 기준으로 보았면 그 수는 로지스틱 성장한다.


  1. Allen. (2006). An Introduction to Mathematical Biology: p272. ↩︎

  2. https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology#The_SIS_model ↩︎

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