SIS 모델: 재감염과 고질병

SIS 모델: 재감염과 고질병

Sis model reinfection and endemic

개요

SIS 모델은 전염이나 정보의 확산에서 면역, 무관심 등을 고려하지 않는 모델이다. 주로 유행병Epidemic이 아닌 풍토병Endemic, 예를 들어 감기, 독감, 성병, 말라리아 등이 SIS 로 모델링될 수 있다.

모델 1

SIS.png

$$ \begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - {{ \beta } \over { N }} I S + \gamma I \\ {{d I} \over {d t}} =& {{ \beta } \over { N }} S I - \gamma I \end{align*} $$

변수

  • $S(t)$: $t$ 시점에서 병에 걸릴 수 있는Susceptible 집단의 개체수를 나타낸다.
  • $I(t)$: $t$ 시점에서 병을 옮길 수 있는Infectious 집단의 개체수를 나타낸다. 정보 확산의 맥락에서는 Informed의 앞글자를 따기도 한다.
  • $N(t) = S(t) + I(t)$: 전체 개체수를 나타낸다. 바이탈 다이내믹스Vital Dynamics가 고려되지 않으면 보통 보존량(상수)으로 두며, 변수들을 개체수가 아닌 전체 인구에서의 비율이라고 하면 $N(t) = 1$ 이라고 두는 경우가 많다.

파라메터

  • $\beta>0$: 전염률Infection Rate이다.
  • $\gamma>0$: 회복률Recovery Rate이다.

기초감염재생산수

$$\mathcal{R}_{0} = {{ \beta } \over { \gamma }}$$

정리

SIS 모델은 본질적으로 로지스틱 성장 모델이다.

증명 2

$$ {{d I} \over {d t}} = {{ \beta } \over { N }} S I - \gamma I $$ $S = N - I$ 이므로 $$ \begin{align*} {{d I} \over {d t}} =& {{ \beta } \over { N }} ( N - I ) I - \gamma I \\ =& \left( (\beta - \gamma) - {{ \beta } \over { N }} I \right) I \end{align*} $$

로지스틱 성장 모델: $$ N’ = {{ r } \over { K }} N ( K - N) $$

감염자 $I$ 를 기준으로 보았면 그 수는 로지스틱 성장한다.


  1. Allen. (2006). An Introduction to Mathematical Biology: p272. ↩︎

  2. https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology#The_SIS_model ↩︎

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