심슨 룰

심슨 룰


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$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ 가 $[a,b]$ 에서 적분가능하고 $[a,b]$ 를 간격이 $\displaystyle h:= {{b-a} \over {n}}$ 로 일정한 $a = x_{0} < \cdots < x_{n} = b$ 와 같은 노드 포인트들로 쪼갰다고 하자. 다음과 같이 정의된 $I_{n}^{2}$ 을 심슨 룰이라 한다. $$ \displaystyle I_{n}^{2} (f) := \sum_{k=1}^{n/2} {{h} \over {3}} \left[ f(x_{2k-2}) + 4 f( x_{2k-1} ) + f(x_{2k} ) \right] $$

$f \in C^4 [a,b]$ 이라고 하자.[1] $\displaystyle E_{1}^{2} (f) = - {{h^5} \over {90}} f^{(4)} ( \xi )$[2] $\displaystyle \tilde{E}_{n}^{2} (f) = - {{ h^4 } \over {180}} [ f^{(3)} (b) - f^{(3)} (a) ]$

$I_{n}^{2} (f)$ 을 풀어서 써보면 다음과 같다. $$ \displaystyle I_{n}^{2} (f) = {{h} \over {3}} \left[ f(x_{0}) + 4 f ( x_{1} ) + 2 f( x_{2} ) + 4 f ( x_{3} ) + 2 f ( x_{4} ) + \cdots 2 f (x_{n-2} ) + 4 f ( x_{n-1} ) + f(x_{n} ) \right] $$ 정적분 $\displaystyle I (f) = \int_{a}^{b} f(x) dx$ 의 수치적 적분을 구하기 위해서 리니어 인터폴레이션을 했던 사다리꼴 룰과 달리 쿼드러틱 인터폴레이션을 한 방법이다.

주목할만한 점은 에러가 $\displaystyle E_{1}^{2} (f) = - {{h^5} \over {90}} f^{(4)} ( \xi )$ 와 같이 계산된다는 점인데, 이는 적분을 위해 $2$차로 인터폴레이션 했음에도 $f$ 가 $3$ 차 이하의 다항함수라면 에러가 정확히 $0$ 이 된다는 뜻이다.

Strategy[1]** : 이차함수가 주어진 함수의 쿼드러틱 인터폴레이션이므로 폴리노미얼 인터폴레이션의 성질을 사용할 수 있다.

증명[1]

편의상 $\displaystyle c:= \left( {{a+b} \over {2}} \right)$ 이라고 두자. $$ \displaystyle I_{1}^{2} (f) := \left( {{ b - a } \over { 6 }} \right) \left[ f(a) + 4 f \left( c \right) + f(b) \right] $$ 이는 구간 $[a,b]$ 에서 $f$ 를 쿼드러틱 인터폴레이션 해서 그 함수의 적분값으로 $I(f)$ 를 근사한 것이다.

뉴턴 계차상 공식$\displaystyle p_{n} (x) =\sum_{i=0}^{n} f [ x_{0} , \cdots , x_{i} ] \prod_{j=0}^{i-1} (x - x_{j} ) $

세 점 $\displaystyle a , c , b$ 와 모든 $x \in [a,b]$ 에 대해 $f(x) = p_{2+1} (x)$ 이라고 하면 $$ \begin{align*} \displaystyle E_{1}^{2} (f) &:=& I(f) - I_{1}^{2} (f) \\ =& \int_{a}^{b} \left[ f(x) - p_{2} (x) \right] dx \\ =& \int_{a}^{b} \left[ p_{2+1} (x) - p_{2} (x) \right] dx \\ =& \int_{a}^{b} (x-a)(x-c)(x-b) f [a,c,b,x] dx \end{align*} $$ 여기서 $w$ 를 다음과 같이 정의하자. $$ \displaystyle w(x) := \int_{a}^{b} (t-a)(t-c)(t-b) dt $$ $(t-a)(t-c)(t-b)$ 는 $t = c$ 를 중심으로 기함수이므로 $w(b)=0$ 이고, 위끝과 아래끝이 값으면 적분값이 $0$ 이 되므로 $w(a) = 0$ 이다. 그러면 부분적분법과 계차상에 대한 미분공식에 따라 $$ \begin{align*} \displaystyle E_{1}^{2} (f) =& \int_{a}^{b} w'(x) f [a,c,b,c] dx \\ =& \left[ w(x) f [ a,c,b, x] \right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} w(x) {{d} \over {dx}} f [a,c,b,x] dx \\ =& - \int_{a}^{b} w(x) f [a,c,b,x,x] dx \end{align*} $$ 미적분학의 기본정리에 의해 $w(x) \ge 0$ 이므로 적분의 평균값 정리를 사용할 수 있다.

적분의 평균값 정리폐구간 $[a,b]$ 에서 함수 $f$ 가 연속이고 $w(x) \ge 0$ 가 적분가능하면 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) w(x) dx = f( \eta ) \int_{a}^{b} w(x) dx$ 를 만족하는 $\eta$ 가 $[a,b]$ 에 적어도 하나 존재한다.

그리고 계차상의 성질에 따라 $$ \begin{align*} \displaystyle E_{1}^{2} (f) =& - f [a,c,b,\eta,\eta] \int_{a}^{b} w(x) dx \\ =& - {{ f^{(4)} ( \xi ) } \over {24}} \left[ {{4} \over {15}} h^5 \right] \\ =& - {{h^5} \over {90}} f^{(4)} ( \xi ) \end{align*} $$ 를 만족하는 어떤 $ \eta , \xi \in [a,b]$ 가 존재한다.

Strategy[2]** : 리만 합만 유도해내면 그 다음은 미적분학의 기본정리에 의해 자연스럽게 연역된다. 다만 심슨 룰은 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n/2}$ 와 같이 덧셈을 하기 때문에 리만 합을 유도하는 과정에서 $\displaystyle {{2} \over {2}}$ 를 곱하는 트릭을 쓴다.

증명[2]

[1]에 의해 실제 $I(f)$ 와 $I_{n}^{2} (f)$ 의 오차는 어떤 $\xi_{k} \in [x_{2(k-1)}, x_{2k} ]$ 들에 대해 다음과 같이 계산된다. $$ \begin{align*} \displaystyle E_{n}^{2} (f) =& I (f) - I_{n}^{2} (f) \\ =& \sum_{k=1}^{n/2} \left( - {{ h^5 } \over { 90 }} f^{(4)} ( \xi_{k} ) \right) \end{align*} $$ 이에 대해 $$ \begin{align*} \lim_{n \to \infty} {{ E_{n}^{2} (f) } \over { h^4 }} =& \lim_{n \to \infty} {{1} \over {h^4}} \sum_{k=1}^{n/2} \left( - {{ h^5 } \over { 90 }} f^{(4)} ( \xi_{k} ) \right) \\ =& \lim_{n \to \infty} {{1} \over {h^4}} {{2} \over {2}} \sum_{k=1}^{n/2} \left( - {{ h^5 } \over { 90 }} f^{(4)} ( \xi_{k} ) \right) \\ =& - {{ 1 } \over { 180 }} \lim_{ n \to \infty} \sum_{k=1}^{n/2} 2 h f^{(4)} ( \xi_{k} ) \\ =& - {{ 1 } \over { 180 }} \lim_{ n \to \infty} \sum_{k=1}^{n/2} {{b-a} \over {n/2}} f^{(4)} ( \xi_{k} ) \\ =& - {{ 1 } \over { 180 }} \int_{a}^{b} f^{(4)} (x) dx \\ =& - {{ 1 } \over { 180 }} [ f^{(3)} (b) - f^{(3)} (a) ] \end{align*} $$ 따라서 $$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} {{\tilde{E}_{n} (f) } \over { E_{n} (f) }} = 1 $$

$$ E_{n}^{2} (f) \approx \tilde{E}_{n}^{2} (f) = - {{ h^4 } \over { 180 }} [ f^{(3)}(b) - f^{(3)}(a) ] $$

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