행렬의 닮음

행렬의 닮음

similarity of matrix

정의1

정사각행렬 $A$, $B$와 어떤 가역행렬 $P$에 대해서 다음의 식이 성립하면 $B$가 $A$와 닮았다$B$ is similar to $A$고 한다.

$$ B = P^{-1} A P $$

설명

정의에 의해 $B$가 $A$와 닮았으면 $A$도 $B$와 닮았다. 닮았다고 명명한 이유는 닮은 행렬끼리 공유하는 중요한 성질이 많기 때문이다. 이를 닮음 불변similarity invariant 혹은 닮음에 의한 불변invariant under similarity이라고 한다.

정리

$A$와 $B$가 서로 닮은 행렬이라고 하자.

  • 행렬식: $A$와 $B$의 행렬식이 같다.

  • 가역성: $A$가 가역행렬이면 $B$도 가역행렬이다.

  • 랭크: $A$와 $B$의 랭크가 같다.

  • 무효차수: $A$와 $B$의 무효차수가 같다.

  • 대각합: $A$와 $B$의 대각합이 같다.

  • 특성 방정식: $A$와 $B$의 특성 방정식이 같다.

  • 고유값: $A$와 $B$의 고유값이 같다.

  • 고유벡터: $\lambda$가 $A$의 고유값이면, $\lambda$에 대응하는 $A$의 고유공간과 $\lambda$에 대응하는 $B$의 고유공간의 차원이 같다.


  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019), p301-302 ↩︎

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