부호가 붙은 측도

부호가 붙은 측도

정의1

$(X, \mathcal{E})$를 가측공간이라고 하자. 아래의 조건을 만족하는 확장된 실수값 함수 $\nu : \mathcal{E} \to \overline{\mathbb{R}}$를 부호 측도signed measure 라고 한다.

설명

쉽게 말해서 음수값도 가질 수 있게 일반화된 측도이다. 따라서 측도이면 부호 측도이기도 하다. 부호측도와 측도를 같이 언급할 때는 강조를 위해서 측도를 양측도positive measure라고 부르기도 한다. 부호 측도의 구체적인 예로 리만 적분이 있다.

한편 측도는 항상 0이상의 함숫값을 가져야하므로 임의의 함수의 리만 적분에 절댓값을 취한 것이라고 생각할 수 있다. 또한 모든 부호 측도는 두 측도의 차로 표현 가능하다.

$$ \nu = \mu_1 -\mu_2 $$

성질

$\nu$를 가측 공간 $(X,\mathcal{E})$에서 정의된 부호 측도라고 하자.


근본적으로 측도에서의 증명 방법1과 같다. 위의 성질을 측도의 관점에서 증명했을 때 필요한 것이 가산가법성이었는데 부호 측도도 가산가법성이 있으므로 증명 방법이 같다. 따라서 생략한다.

같이보기


  1. 성질 (C), (D)를 참고 ↩︎

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