정수론에서의 시그마 함수

정수론에서의 시그마 함수

Sigma function in number theory

정리

$\displaystyle \sigma (n) : = \sum_{d \mid n} d$ 에 대해 다음이 성립한다.

  • [1]: 소수 $p$ 에 대해 $$\sigma( p^k ) = {{p^{k+1} - 1} \over {p-1}}$$
  • [2]: $\gcd (n , m ) = 1$ 이면 $$\sigma(nm) = \sigma(n) \sigma(m)$$

설명

시그마 함수는 쉽게 말해 약수의 합으로, $6$ 을 예로 들자면 $\sigma(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12$ 이다. 해석적 정수론에서는 디바이저 함수로 일반화된다.

한편 시그마 함수를 언급함으로써 완전수Perfect Number를 깔끔하게 정의할 수 있다. 완전수는 자기 자신을 제외한 약수들의 합이 자기 자신과 같아지는 수다. 따라서 $\sigma(n) = 2n$ 을 만족하는 $n$ 을 완전수라고 정의하면 된다.

증명

[1]

$$ \sigma( p^k ) = 1 + p + \cdots + p^{k} = {{p^{k+1} - 1} \over {p-1}} $$

[2]

$n$ 의 약수를 $1, d_{n1}, d_{n2}, \cdots, d_{nN}, n$ 그리고 $m$ 의 약수를 $1, d_{m1}, d_{m2}, \cdots, d_{mM}, m$ 이라고 하자.

$\gcd(n,m) = 1$ 이므로 $$ \sum_{d \mid nm} d = 1 + d_{n1} + d_{m1} + d_{n1} d_{m1} + \cdots + nm $$ 정리하면 $$ \sum_{d \mid nm} d = (1 + d_{n1} + \cdots + n ) (1 + d_{m1} + \cdots + m) = \sum_{d | n} d_{n} \sum_{d | m} d_{m} $$

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