자명 위상과 이산 위상

자명 위상과 이산 위상

정의 1

어떤 집합 $X$ 가 주어져 있을 때 자명 위상Trivial Topology $\left\{ \emptyset , X \right\}$ 를 주면 그 공간은 가장 작은 공간이며 자명 공간이라 한다. 반대로 이산 위상Discrete Topology $\mathscr{P}(X)$ 를 주면 그 공간은 가장 큰 공간이며 이산 공간이라 한다.

시어핀스키 공간

$S : = \left\{ 0, 1 \right\}$ 의 위상이 $\mathscr{T} : = \left\{ \emptyset , \left\{ 1 \right\} , \left\{ 0, 1 \right\} \right\}$ 이면 $S$ 를 시어핀스키 공간Sierpinski Space이라 한다.

시어핀스키 공간이란 원소가 단 두개 있는 집합에 대해서 그 위상이 자명 위상도 아니면서 이산 공간도 아닌 공간이다. 선택되는 원소가 $0$ 이냐 $1$ 이냐만 달라질 뿐 본질적으로는 똑같기 때문에 구분하는 의미가 없다. 위와 같은 위상으로 특정할 경우에 $\left\{ 1 \right\}$ 은 열려있고 $\left\{ 0 \right\}$ 은 닫혀있다.

시어핀스키 공간의 도집합

$$ \emptyset ' = \emptyset \\ \left\{ 1 \right\} ' = \left\{ 0 \right\} \\ \left\{ 0 \right\} ' = \emptyset \\ \left\{ 1,0 \right\} ' = \left\{ 0 \right\} $$

$0$ 과 $1$ 을 합쳐놓은듯한 $\emptyset$ 의 생김새탓인지 수학적인 아름다움이 극대화되는 예시다. 위상수학을 처음 접한다면 연습삼아 위의 결과가 사실인지 직접 증명해보길 바란다. 별다른 테크닉 없이 정의에 따라 계산하고 나열만 해보면 쉽게 확인할 수 있다.


  1. Munkres. (2000). Topology(2nd Edition): p77. ↩︎

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