샤르코우스키 정리

샤르코우스키 정리

정리 1

$$ 3 \prec 5 \prec 7 \prec 9 \prec \cdots \prec \\ 2\cdot 3 \prec 2 \cdot 5 \prec \cdots \prec \\ 2^2 3 \prec 2^2 5 \prec \cdots \prec \\ 2^3 3 \prec 2^3 5^2 \prec \cdots \prec \\ 2^3 \prec 2^2 \prec 2^1 \prec 2^0 $$ 추이적 관계 $\prec$ 에 대해 위와 같은 순서를 샤르코우스키 오더링이라 한다. 연속 맵 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 이 피리어딕-$p$ 오빗을 갖는다고 하자. $p \prec q$ 면 $f$ 는 피리어딕-$q$ 오빗을 갖는다.

설명

샤르코우스키 정리Sharkovskiis Theorem리-요크 정리를 일반화한 정리로써 피리어딕-$3$ 오빗이 존재하면 모든 자연수 $m$ 에 대해 피리어딕-$m$ 오빗이 존재할 뿐만 아니라 임의의 $p$ 에 대해서도 샤르코우스키 오더링에 따라 피리어딕-$q$ 오빗이 존재함을 말해줄 수 있다. 샤르코우스키 오더링의 ‘시작’은 $3$ 이므로 피리어딕-$3$ 오빗이 존재한다면 모든 피리어딕 오빗이 존재함을 보장할 수 있고, 완벽하게 리-요크 정리를 커버한다.

그런데 실제로는 리-요크의 논문이 1975년에 발표되었고 샤르코우스키의 논문이 1964년에 발표되었으므로 거꾸로 리-요크 정리가 샤르코우스키 정리의 따름정리라고 보는 게 맞다. 냉전시대 때문에 샤르코우스키의 업적은 세상에 늦게 알려졌고, 알려졌을 때는 이미 리-요크 정리가 카오스 이론의 중심적인 정리로 자리를 잡은 상태였다.


  1. Yorke. (1996). CHAOS: An Introduction to Dynamical Systems: p135. ↩︎

댓글