지수함수집합, 삼각함수집합은 정규직교기저이다

지수함수집합, 삼각함수집합은 정규직교기저이다

set of exponential functions and trigonometric functions is orthonormal basis

정리

두 집합 $\left\{ e^{inx} \right\}_{n=-\infty}^\infty$와 $\left\{ \cos nx\ \right\}_{n=0}^\infty \cup \left\{ \sin nx \right\}_{n=1}^\infty$는 [$L^{2}(-\pi,\ \pi)$]의 정규직교기저 이다. 또한 $\left\{ \cos nx \right\}_{n=0}^{\infty}$와 $\left\{ \sin nx \right\}_{n=1}^{\infty}$는 $L^{2}(0,\ \pi)$의 정규직교기저이다.

설명

주어진 함수를 삼각함수들의 급수로 표현하는 푸리에 급수가 타당한 이유를 설명하는 사실이다.

증명

$\phi_n(x)=e^{inx}$라고 하자. 그리고 $f \in L^{2}(-\pi,\ \pi)$이고 $\epsilon$을 아주 작은 임의의 양수라고 가정하자.

보조정리

임의의 $f \in L^{2}(a,\ b)$에 대해서 $| f_n - f | \rightarrow 0$을 만족하는 $[a,\ b]$위에서 매끄러운 함수들의 수열 $\left\{ f_n \right\}$이 존재한다.

그러면 보조정리에 의해서 다음의 식을 만족하는 $\tilde{f}$가 존재한다.

$$ \begin{equation} | f-\tilde{f} | < \frac{\epsilon}{3} \label{eq1} \end{equation} $$

그리고 $c_n=\frac{1}{2\pi}\langle f,\ \phi_n \rangle$, $\tilde{c}_n=\frac{1}{2\pi}\langle \tilde{f},\ \phi_n \rangle$이 $f$와 $\tilde{f}$의 푸리에 계수 라고 하자. 그러면 $\tilde{f}$의 푸리에 급수 $\sum \tilde{c}_n\phi_n$은 $\tilde{f}$로 균등수렴하고 , 균등수렴하므로 놈에서 수렴한다 . 즉 아래의 식이 성립한다.

$$ \begin{equation} \left\| \tilde{f} -\sum \limits_{-N}^{N} \tilde{c}_n\phi_n \right\| < \dfrac{\epsilon}{3} \label{eq2} \end{equation} $$

그리고 아래의 식이 성립한다.

$$ \begin{align} \left\| \sum\limits_{-N}^{N}\tilde{c}_n\phi_n - \sum\limits_{-N}^{N}c_n\phi_n\right\| ^{2} &= \left\| \sum\limits_{-N}^{N} (\tilde{c}_n-c_n) \phi_n \right\| ^{2} \nonumber \\ &= \sum \limits_{-N}^{N} | \tilde{c}_n -c_n |^{2} | \phi_n |^{2} \nonumber \\ &= \sum \limits_{-N}^{N} \dfrac{1}{2\pi} | \langle \tilde{f}-f,\ \phi_n \rangle |^{2} | \phi_n|^{2} \nonumber \\ &= \sum \limits_{-N}^{N} \dfrac{1}{2\pi} | \langle \tilde{f}-f,\ \phi_n \rangle |^{2} \nonumber \\ &\le \sum \limits_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{2\pi} | \langle \tilde{f}-f,\ \phi_n \rangle |^{2} \nonumber \\ &\le | \tilde{f} - f | ^{2} \nonumber \\ &< \left( \dfrac{\epsilon}{3} \right)^{2} \label{eq3} \end{align} $$

네번째 등호는 $ | \phi_n |=1$이기 때문에 성립한다. 여섯번째 줄은 베셀 부등식 에 의해 성립한다. 마지막 줄은 가정 $\eqref{eq1}$에 의해 성립한다. 이제 $\eqref{eq1}$, $\eqref{eq2}$, $\eqref{eq3}$을 이용하여 $| f -\sum c_n\phi_n | \rightarrow 0$임을 보이면 증명 완료이다.

$$ f-\sum \limits_{-N}^{N}c_n\phi_n = (f-\tilde{f}) + \left( \tilde{f} -\sum _{-N}^{N} \tilde{c}_n\phi_n \right) + \left( \sum _{-N}^{N} \tilde{c}_n\phi_n - \sum _{-N}^{N}c_n\phi_n\right) $$

위의 식이 성립하므로 삼각 부등식에 의해

$$ \begin{align*} \left\| f-\sum\limits_{-N}^{N}c_n\phi_n \right\| &\le \| f-\tilde{f} \| + \left\| \tilde{f} -\sum _{-N}^{N} \tilde{c}_n\phi_n \right\| + \left\| \sum _{-N}^{N} \tilde{c}_n\phi_n - \sum _{-N}^{N}c_n\phi_n \right\| \\ &= \dfrac{\epsilon}{3} + \dfrac{\epsilon}{3} + \dfrac{\epsilon}{3} \\ &= \epsilon \end{align*} $$

따라서

$$ \left\| f- \sum \limits_{-\infty}^{\infty} c_n\phi_n \right\| \rightarrow 0 $$

이고 조건 (b)에 의해서 $\left\{ \phi_n \right\}$는 완비정규직교집합이다.

나머지 경우에 대해서는 본질적으로 똑같은 결과이거나 거의 비슷한 과정으로 증명할 수 있으므로 생략한다.

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