급수, 무한급수

급수, 무한급수

power series

정의1

수열 $\left\{ a_{n} \right\}$이 주어졌다고 하자. 그리고 아래의 표기법을 정의하자.

$$ \sum \limits_{n=p}^{q} a_{n} = a_{p} + a_{p+1} + \cdots + a_{q}\quad (p \le q) $$

$\left\{ a_{n} \right\}$의 부분합partial sum $s_{n}$을 다음과 같이 정의한다.

$$ s_{n} = \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} $$

그러면 $s_{n}$들의 수열 $\left\{ s_{n} \right\}$을 생각할 수 있다. 수열 $\left\{ s_{n} \right\}$의 극한을 $\left\{ a_{n} \right\}$의 무한 급수infinite series 혹은 간단히 급수라고 하고 다음과 같이 표기한다.

$$ \sum \limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \lim \limits_{n \to \infty} s_{n} $$

$\left\{ s_{n} \right\}$이 $s$로 수렴하면 다음과 같이 나타낸다.

$$ \sum \limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} = s $$

$\left\{ s_{n} \right\}$이 발산하면 다음과 같이 나타낸다.

$$ \sum \limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \infty $$

설명

급수는 무한히 더한다는 애매모호한 개념을 수학적으로 엄밀하게 정의한 것이다. 급수는 $\sum a_{n}$과 같이 간단하게 표기하기도 한다.


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p59 ↩︎

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