에르미트 미분방정식의 급수해: 에르미트 다항식

에르미트 미분방정식의 급수해: 에르미트 다항식

정의

다음의 미분방정식을 에르미트Hermite 미분방정식이라 한다.

$$ y^{\prime \prime}-2xy^{\prime}+2ny=0,\quad n=0,1,2,\cdots $$

에르미트 미분방정식의 해를 에르미트 다항식이라 하고 흔히 $H_{n}(x)$으로 표기한다. 처음 몇 개의 에르미트 다항식은 다음과 같다.

$$ \begin{align*} H_{0}(x) =&\ 1 \\ H_{1}(x) =&\ 2x \\ H_{2}(x) =&\ 4x^{2}-2 \\ H_{3}(x) =&\ 8x^{3}-12x \\ H_{4}(x) =&\ 16x^{4}-48x^{2}+12 \\ H_{5}(x) =&\ 32x^{5}-160x^{3}+120x \\ \vdots& \end{align*} $$

설명

Hermite는 프랑스 사람이므로 [에르미트]라고 읽는 것이 맞다. 영어로 읽으면 [허밋], [허마이트]정도가 된다.

위 꼴은 구체적으로 물리학자의 에르미트 함수라 불리며, 다른 표현으로는 확률론자의 에르미트 함수가 있다.

계수에 독립변수 $x$가 포함된 형태이며, 해가 멱급수 꼴이라고 가정하면 풀 수 있다. 체비셰프 방정식의 해를 체비셰프 다항식이라고하며 해를 흔히 $T_{n}(x)$로 표기한다.

풀이

$$ y^{\prime \prime}-2xy^{\prime}+2\lambda y=0 $$

위와 같이 주어진 에르미트 미분방정식의 해를 다음과 같은 급수라고 가정하자.

$$ y=\sum \limits _{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n} $$

급수해로 가정하고 풀이를 시작하지만 풀이의 끝부분에서 사실 $y$의 항이 유한함을 알게 된다. 미분 방정식에 대입하기위해 $y^{\prime}, y^{\prime \prime}$을 구하면 각각 아래와 같다.

$$ \begin{align*} y^{\prime} =&\ \sum \limits _{n=1}^{\infty} na_{n}x^{n-1} \\ y^{\prime \prime} =&\ \sum \limits _{n=2}^{\infty}n(n-1)a_{n}x^{n-2} \end{align*} $$

이를 미분 방정식에 대입하면 아래와 같다.

$$ \sum \limits _{n=2}^{\infty} n(n-1)a_{n}x^{n-2} -2\sum \limits _{n=1}^{\infty}na_{n}x^{n}+2\lambda \sum \limits _{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=0 $$

$x$의 차수를 맞춰주기 위해 첫번째 급수의 인덱스를 바꿔주면

$$ \sum \limits _{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} -2\sum \limits _{n=1}^{\infty}na_{n}x^{n}+2\lambda \sum \limits _{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=0 $$

$n=0$인 항을 밖으로 빼주고 급수를 하나로 묶어주면 다음과 같다.

$$ 2a_{2}+2\lambda a_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty}\left[ (n+2)(n+1)a_{n+2} -2na_{n}+2\lambda a_{n}\right]x^{n}=0 $$

위 식이 성립하려면 모든 항의 계수가 $0$이어야하므로 위 식에서 아래의 두 조건을 얻는다.

$$ \begin{align*} 2a_{2}+2\lambda a_{0} =&\ 0 \\ (n+2)(n+1)a_{n+2}-2na_{n} +2\lambda a_{n} =&\ 0 \end{align*} $$

그런데 아래의 식에서 $n=0$을 대입하면 위의 식을 얻을 수 있으므로 사실상 하나의 조건이다. $a_{n+2}$에 대해서 정리하면 아래와 같은 재귀식을 얻는다.

$$ a_{n+2}=\frac{2(n-\lambda)}{(n+2)(n+1)}a_{n} $$

위 재귀식으로부터 $n=2$이상인 경우는 $a_{0}$ 혹은 $a_{1}$으로 표현된다는 것을 알 수 있다. 우선 짝수인 $n$에 대해서 구해보면 다음과 같다.

$$ \begin{equation} \begin{aligned} a_{2} =&\ \frac{2(-\lambda)}{2\cdot 1}a_{0} \\ a_{4} =&\ \frac{2(2-\lambda)}{4\cdot 3}a_{2}=\frac{2^{2}(2-\lambda)(-\lambda)}{4!}a_{0} \\ a_{6} =&\ \frac{2(4-\lambda)}{6\cdot 5}a_{4}=\frac{2^{3}(4-\lambda)(2-\lambda)(-\lambda)}{6!}a_{0} \\ \vdots & \\ a_{2n} =&\ \frac{2^{n}(2n-2-\lambda)(2n-4-\lambda)\cdots(2-\lambda)(-\lambda)}{(2n)!}a_{0} \end{aligned} \label{1} \end{equation} $$

홀수에 대해서 구해보면

$$ \begin{align*} a_{3} =&\ \frac{2(1-\lambda)}{3\cdot 2}a_{1} \\ a_{5} =&\ \frac{2(3-\lambda)}{5\cdot 4}a_{3}=\frac{2^{2}(3-\lambda)(1-\lambda)}{5!}a_{1} \\ a_{7} =&\ \frac{2(5-\lambda)}{7\cdot 6}a_{5}=\frac{2^{3}(5-\lambda)(3-\lambda)(1-\lambda)}{7!}a_{1} \\ \vdots & \\ a_{2n+1} =&\ \frac{2^{n}(2n-1-\lambda)(2n-3-\lambda)\cdots(3-\lambda)(1-\lambda)}{(2n+1)!}a_{1} \end{align*} $$

위 결과에 의해 급수해를 크게 두 부분으로 나눌 수 있다.

$$ \begin{align*} y =&\ \sum \limits _{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} \\ =&\ \left[ a_{0}+a_{2}x^{2}+a_{4}x^{4}+\cdots\right]+\left[ a_{1}x + a_{3}x^{3}+a_{5}x^{5}+\cdots \right] \\ =&\ a_{0}\left[ 1-\lambda x^{2} + \frac{(2-\lambda)(-\lambda)}{3!}x^{4}+\cdots \right]+a_{1}\left[x + \frac{1-\lambda}{3}x^{3}+\frac{2^{2}(3-\lambda)(1-\lambda)}{5!}x^{5} + \cdots \right] \end{align*} $$

그런데 여기서 $\lambda$가 음이 아닌 정수이면 두 부분중 하나는 유한한 항만 남게된다. 예를 들어 $\lambda=4$라면 $\eqref{1}$에서 알 수 있듯이 $a_{6}=a_{8}=\cdots=a_{2n}=0$이다. 따라서 미분 방정식의 상수 $\lambda$가 음이 아닌 정수일 때 발산하지 않는 해를 얻을 수 있다. 각 람다에 따른 해를 $H_{\lambda}$라고 표기하면

$$ \begin{align*} H_{0}(x) =&\ a_{0} \\ H_{1}(x) =&\ a_{1}x \\ H_{2}(x) =&\ a_{0}(1-2x^{2}) \\ H_{3}(x) =&\ a_{1}\left( x -\frac{2}{3}x^{3} \right) \\ H_{4}(x) =&\ a_{0} \left( 1-4x^{2}+\frac{4}{3}x^{4} \right) \\ H_{5}(x) =&\ a_{1}\left( x+-\frac{4}{3}x^{3}+\frac{4}{15}x^{5} \right) \\ \vdots & \end{align*} $$

이제 각각의 $H_{n}(x)$의 최고차항 $x^{n}$의 계수가 $2^{n}$이 되도록 $a_{0}$, $a_{1}$에 값을 대입해주면 아래와 같은 물리학자의 에르미트 다항식 을 얻는다.

$$ \begin{align*} H_{0}(x) =&\ 1 \\ H_{1}(x) =&\ 2x \\ H_{2}(x) =&\ 4x^{2}-2 \\ H_{3}(x) =&\ 8x^{3}-12x \\ H_{4}(x) =&\ 16x^{4}-48x^{2}+12 \\ H_{5}(x) =&\ 32x^{5}-160x^{3}+120x \\ \vdots & \end{align*} $$

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