아크탄젠트 함수의 급수전개

아크탄젠트 함수의 급수전개

Series expansion of arctangent Function

정리1

$$ \tan ^{ -1 } x = \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { (-1) ^{ n } { x } ^ { 2n+1 } } { 2n+1 } } $$

설명

$\arctan$으로 쓰든 $\tan ^{-1}$로 쓰든 상관없다. 여러 삼각함수의 역함수 중에서도 아크탄젠트가 특히 흥미로운 이유는 바로 $\pi$ 로 수렴하는 급수를 제공해주기 때문이다. $x=1$ 을 대입하면

$$ { \pi \over 4 } = \tan ^{-1} 1 = 1 - {1 \over 3} + {1 \over 5} - {1 \over 7} + \cdots $$

양변에 $4$ 를 곱하면 다음과 같이 $\pi$로 수렴하는 무한급수를 얻는다.

$$ \pi = 4 \left( 1 - {1 \over 3} + {1 \over 5} - {1 \over 7} + \cdots \right) $$

증명

$-1<t<1$ 에서

$$ \frac { 1 }{ 1-t }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { t ^ n } } \implies \frac { 1 }{ 1+{ t ^ 2 } }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { \left( -{ t ^ 2 } \right) } ^{ n } }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { (-1) ^ { n } }{ t ^ {2n} } } $$

이므로

$$ \begin{align*} \tan^{ -1 }x =& \int _{ 0 }^{ x }{ \frac { 1 }{ 1+{ t ^ 2 } } }dt \\ =& \int _{ 0 }^{ x }{ \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { (-1) ^ { n } }{ t ^ {2n} } } }dt \\ =& { \left[ \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) ^ { n } }{ t ^ {2n+1} } }{ 2n+1 } } \right] }_{ 0 }^{ x } \\ =& \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) ^ { n } }{ x ^ {2n+1} } }{ 2n+1 } } \end{align*} $$


  1. 경북대학교 기초교육원, 이공학도를 위한 대학수학 (2012), p224-225 ↩︎

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