해석학의 여러가지 급수판정법 총정리
Series Convergence Test
급수판정법들은 별도의 증명 없이 소개만 하고자 한다.증명하는 법 자체보단 팩트로써 잘 활용하는 것이 중요하기도 하고, 대개는 증명 과정도 지루하기 때문이다.
발산 판정법
$\displaystyle \lim _{ n\to \infty }{ { a }_{ n }} \ne 0$ 이면 $\displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }}$ 은 발산한다.
고등학교 때 접할 수 있는 유일한 판정법이다.쉬운만큼 수렴하는 것 자체를 판정할 수는 없는 것이 아쉽지만, 발산하는 것을 보일땐 가장 쉽고 빠르다.
코시 판정법
$\displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }}$ 이 수렴하는 것은 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum _{ k=n }^{ n+m }{ { a }_{ k }}=0$ 과 동치다.
원래는 $\varepsilon$과 $N$ 을 써서 표현이 복잡해 조금 바꾸었다. 수렴하는 수열이 코시 수열이라는 것과 동치라는 걸 이용해서 증명하기 때문에 코시 판정법이라는 이름이 붙었다.
적분 판정법
감소함수 $f: [1,\infty) \to \mathbb{R}$ 이 항상 $0$보다 크다고 하자.
$\displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { f }( n )}$ 이 수렴하는 것은 $\displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x) dx < \infty$ 과 동치다.
$\displaystyle f(n+1) \le \int_{n}^{n+1} f(x) dx \le f(n)$ 임을 이용해서 증명한다.드물게도 증명 과정이 재미있는 판정법이기도 하다.
p-급수 판정법
$\displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ 1 \over {n^p} }$ 이 수렴하는 것은 $p>1$과 동치다.
한마디로 조화급수에서 조금이라도 승을 올리면 수렴한다는 말이다.
적분판정법에 기하급수를 넣어서 유도되는 따름정리지만 워낙 단순하고 유용해서 적분 판정법보다도 많이 쓰인다.
비교 판정법
적당히 큰 $k$ 에 대해 $0 \le a_k \le b_k$이라고 하자.
$\displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { b }_{ n }}$ 이 수렴하면 $\displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }}$도 수렴한다.
비교라는 이름이 붙은 판정법답게 이미 수렴하는 걸 알고 있는 다른 급수와 비교해서 수렴하는 것을 보일 때 쓴다.
대우명제를 사용하면 마찬가지의 방법으로 급수가 발산하는지를 확인할 수 있을 것이다.
극한 비교 판정법
적당히 큰 $k$ 에 대해 $a_k \ge 0$이고 $b_k>0$이라고 하자.
$\displaystyle L= \lim_{n \to \infty} { {a_n} \over {b_n} }$ 에 대해
-
$0<L<\infty$이면 $\displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }}$ 과 $\displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { b }_{ n }}$ 은 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산한다.
-
$L=0$ 이고 $\displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { b }_{ n }}$ 이 수렴하면 $\displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }}$도 수렴한다.
-
$L=\infty$ 이고 $\displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { b }_{ n }}$ 이 발산하면 $\displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }}$도 발산한다.
적당히 큰 $k$ 에 대해 $\displaystyle 1= \lim_{n \to \infty} { {a_n} \over {b_n} }$일 때 $a_n \approx b_n$ 이라고 나타낸다.비교 판정법과 마찬가지로 원래 급수가 수렴하는지 보이기 어려워서 다른 수렴하는 급수와 비교하는 것이다. 언뜻 조건이 까다로워 보이지만 실제로는 조금만 건드리면 만족시키기 쉬워서 수렴성만 보일 땐 아주 유용하다.
근 판정법
$\displaystyle r = \lim_{n \to \infty} {{|a_n|} ^ {1 \over n}}$ 에 대해 $r<1$이면 $\displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }}$은 절대수렴, $r>1$이면 $\displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }}$은 발산한다.
비 판정법
$\displaystyle r = \lim_{n \to \infty} { {|a_{n+1}|} \over {|a_{n}|} }$ 에 대해 $r<1$이면 $\displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }}$은 절대수렴, $r>1$이면 $\displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }}$은 발산한다.
조건이 조금 세지만 한 방에 절대수렴임을 보여주기 때문에 많이 쓰인다. 한편 $r=1$인 경우는? 케이스 바이 케이스, 다른 방법으로 확인해야한다.
디리클레 판정법
부분합 $\displaystyle s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ 이 유계고 $b_n \downarrow 0$ 이면 $\displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n } {b}_{n}}$은 수렴한다.
교대급수 판정법
$b_n \downarrow 0$ 이면 $\displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ (-1)^{n} {b}_{n}}$은 수렴한다.
$b_n \downarrow 0$은 $n \to \infty$ 일 때 $0$으로 수렴하되 $0$보다 큰 값을 취함을 의미한다.
교대급수 판정법은 디리클레 판정법에서 바로 유도될 수 있다. 이쯤 되면 사실 슬슬 당연하게 느껴지기보단 진짜 저게 성립하는지 경이롭게 느껴질 수 있다. 정확한 값이 아니라 수렴성만 판별하고 싶다면 예시로써 교대조화급수를 생각해볼 수 있다.