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분리벡터

separation vector

정의¹

원천점에서 관찰점까지의 벡터를 분리벡터^{separation vector}라 한다.

$$ \boldsymbol{\eta} = \mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime} $$

설명

• 원천벡터^{source vector} $\mathbf{r}^{\prime}$: 전하나 전류가 있는 곳. 즉, 전자기장을 만드는 근원지의 좌표를 나타내는 벡터이다.
• 위치벡터^{position vector} $\mathbf{r}$: 전기장 $\mathbf{E}$나 자기장 $\mathbf{B}$ 등을 측정하는 곳의 좌표를 나타내는 벡터이다.
• 분리벡터 $\boldsymbol{\eta}$: 위치벡터와 원천벡터(근원벡터)의 차이.

분리벡터의 표기는 표준이 없고 제각각이다. 따로 기호를 정하지 않고 $\mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime}$라고 쓰는 경우도 있다. 그리피스 전자기학 교재에서는 이와 같이 표기할 경우 식이 지저분해져서 좋지 않다고 얘기한다. 쓰이는 기호로는 그리스어 에타 $\boldsymbol{\eta}$, $\Re$, 필기체 $r$ 등이 있다. 그리피스 전자기학 교재에서는 필기체 $r$을 쓰지만 이는 텍코드로 사용하기 어렵기 때문에 생새우초밥집에서는 $\boldsymbol{\eta}$로 표기하겠다. 전자기학을 공부할 때 중요하게 쓰인다. 분리벡터의 크기와 단위벡터는 다음과 같다.

$$ |\boldsymbol{\eta} | = \eta= |\mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime}| $$

$$ \hat{ \boldsymbol{\eta}} = \dfrac{\boldsymbol{\eta}}{\eta} = \dfrac{\mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime}}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime}|} $$

직교좌표계로 나타내면 아래와 같다.

$$ \begin{align*} \boldsymbol{\eta} &= (x-x^{\prime})\hat {\mathbf{x}} + (y-y^{\prime})\hat{\mathbf{y}} + (z-z^{\prime})\hat{\mathbf{z}} \\ \eta &= \sqrt{ (x-x^{\prime})^2 + (y-y^{\prime})^2 + (z-z^{\prime})^2 } \\ \hat{ \boldsymbol{\eta}} &= \dfrac{ (x-x^{\prime})\hat {\mathbf{x}} + (y-y^{\prime})\hat{\mathbf{y}} + (z-z^{\prime})\hat{\mathbf{z}}}{\sqrt{ (x-x^{\prime})^2 + (y-y^{\prime})^2 + (z-z^{\prime})^2 }} \end{align*} $$

예제

원천점(2,8,7)에서 관찰점(4,6,8)까지의 분리벡터 $\boldsymbol{\eta}$를 구해라. 또한 그 크기와 단위벡터를 구하라.

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$$ \boldsymbol{\eta}=(4,6,8)-(2,8,7)=(2,-2,1)=2\hat{\mathbf{x}} -2\hat{\mathbf{y}}+\hat{\mathbf{z}} $$

$$ \eta=\sqrt{ 2^2+ (-2)^2+1^2}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3 $$

$$ \hat{ \boldsymbol{\eta}}=\left( \dfrac{2}{3}, - \dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3} \right) = \dfrac{2}{3}\hat{\mathbf{x}} -\dfrac{2}{3}\hat{\mathbf{y}}+\dfrac{1}{3}\hat{\mathbf{z}} $$