위상수학에서의 분리성질

위상수학에서의 분리성질

정의 1

$X$ 를 위상공간이라고 하자. $a,b \in X$ 에 대해 $a \ne b$ 고 $U, V \subset X$ 는 $X$ 에서 열린 집합이다.

  1. $T_{0}$: 임의의 $a$ 와 $b$ 중 하나만 포함하는 $U$ 가 존재하면, $X$ 를 콜모고로프Kolmogorov 공간이라고 한다.
  2. $T_{1}$: 임의의 $a,b$ 에 대해 $$ a \in U, b \notin U \\ a \notin V, b \in V $$ 를 만족하는 $U,V$ 가 존재하면, $X$ 를 프레셰Frechet 공간이라고 한다.
  3. $T_{2}$: 임의의 $a,b$ 에 대해 $$ a \in U, b \in V \\ U \cap V = \emptyset $$ 를 만족하는 $U,V$ 가 존재하면, $X$ 를 하우스도르프Hausdorff 공간이라고 한다.
  4. $T_{3}$: $X$ 가 $T_{1}$-공간이면서 $a$ 를 포함하지 않는 모든 닫힌 집합 $C \subset X$ 에 대해 $$ a \in U , C \subset V \\ U \cap V = \emptyset $$ 를 만족하는 $U,V$ 가 존재하면 $X$ 를 정칙Regular 공간이라고 한다.
  5. $T_{4}$: $X$ 가 $T_{1}$-공간이면서 $A \cap B = \emptyset$ 인 두 닫힌 집합 $A, B \subset X$ 에 대해 $$ A \subset U , B \subset V \\ U \cap V = \emptyset $$ 를 만족하는 $U,V$ 가 존재하면 $X$ 를 정규Normal 공간이라고 한다.

설명

분리공리Separation Axiom 로도 불리는 이 성질들은 말 그대로 공간을 부분으로 나누는 것에 대해 초점을 맞추고 있다. 위와 같이 $T_{i}$ 로 나타낸 분류를 콜모고로프 분류Kolmogorov classification라 한다. 정의를 딱 보면 $$ T_{4} \implies T_{3} \implies T_{2} \implies T_{1} \implies T_{0} $$ 이라는 느낌이 올 것이고, 실제로도 그래서 보기 좋은 분류법이다.

특히 자주 관심의 대상이 되는 것은 $T_{2}$ 하우스도르프 공간으로, 조건이 너무 많지도 적지도 않아 딱 쓸만한 수준이다. 반례로 자주 쓰이는 온갖 변태같은 공간들은 대개 $T_{2}$ 를 만족시키지 못하는 경우가 많다. 하우스도르프 공간이 아닌 공간의 예시로는 시어핀스키 공간여유한 공간이 있다.

다음은 하우스도르프 공간이 가지는 몇몇 유용한 성질들이다. 당장 모든 거리 공간은 하우스도르프 공간이므로 써먹을 구석이 많음은 말할 것도 없을 것이다.

정리

증명

[2-1]

위상동형사상 $f : X \to Y$ 가 존재하고 $X$ 가 하우스도르프 공간이라고 하자. $Y$ 가 하우스도르프 공간임을 보이면 증명은 끝난다.

$f$ 는 전단사이므로 서로 다른 두 $y_{1}, y_{2} \in Y$ 에 대해 $$ a = f(x_{1}) \\ b = f(x_{2}) $$ 를 만족하면서 서로 다른 두 $x_{1}, x_{2} \in X$ 가 존재한다. 가정에서 $X$ 는 하우스도르프 공간이므로 $$ x_{1} \in U \\ x_{2} \in V \\ U \cap V = \emptyset $$ 을 만족하는 열린 집합 $U, V \subset X$ 가 존재한다. $f$ 는 연속성에 의해 열린 함수이므로 $f(U)$ 와 $f(V)$ 는 $Y$ 에서 열린 집합이고 $$ a \in f(U) \\ b \in f(V) \\ f(U) \cap f(V) = \emptyset $$ 따라서 $Y$ 는 하우스도르프 공간이다.


  1. Munkres. (2000). Topology(2nd Edition): p195. ↩︎

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