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묵찌빠 공간

가위바위보 집합

$$ \begin{align*} 2 \le_{X} 0 \\ 5 \le_{X} 2 \\ 0 \le_{X} 5 \end{align*} $$

위의 이항관계 $\le_{X}$가 정의되는 가위바위보 집합RPS Set $X := \left\{ 0,2,5 \right\}$ 를 생각해보자. 여기서 $\le_{X}$ 는 반사적이고 반대칭적이다. 다시 말해, 모든 $x \in X$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$ x \le_{X} x \\ x \le_{X} y \land y \le_{X} x \implies x = y $$

여기서 사용된 등호 $=$ 는 외연 공리에 의존한다.

가위바위보 수열

$Y := \left\{ x = \left\{ x (k) \right\}_{k=1}^{\infty} : x_{k} \in X \right\}$ 는 가위바위보 수열RPS Sequence의 집합이다. $Y$ 의 원소를 카드Card라 부르겠다. 두 카드 $y_{1} , y_{2}$ 의 같음은 다음과 같이 정의한다. $$ \forall k \in \mathbb{N} : y_{1} = y_{2} \overset{\text{Def}}{\iff} y_{1}(k) = y_{2}(k) $$

예시

$$ a = \left( 0,2,2,5,2, \cdots \right) $$

위와 같이 나타난 $a \in Y$ 는 카드다.

묵찌빠 집합

무한대 $\infty$ 를 포함한 자연수 집합을 $\overline{\mathbb{N}}$ 와 같이 나타내자. 두 카드 $y_{1}$, $y_{2}$ 에 대해 $$ y_{1} (k) \ne y_{2} (k) \\ y_{1} (k+1) = y_{2} (k+1) $$ 를 이면서 $y_{1} \left( k_{2} \right) \le_{X} y_{2} \left( k_{2} \right)$ 을 만족하는 가장 작은 자연수 $k_{2} \in \overline{\mathbb{N}}$ 와 $y_{1} \left( k_{1} \right) \le_{X} y_{2} \left( k_{1} \right)$ 을 만족하는 가장 작은 자연수 $k_{1} \in \overline{\mathbb{N}}$ 에 대해서, $k_{2} < k_{1}$ 일 때 $y_{1} < y_{2}$ 이라 쓰고 $y_{2}$ 가 $y_{1}$ 를 이겼다Beat고 말한다. 만약 $k_{1} = k_{2}$ 이면, $y_{1} \times y_{2}$ 라 쓰고 $y_{2}$ 와 $y_{1}$ 이 비겼다Draw고 말한다.

예시

$$ a := \left( 0,0,0,0,0,0, \cdots \right) \\ b := \left( 0,2,0,0,0,0, \cdots \right) $$

$k=2$ 에서 $a > b$ 임을 확인할 수 있다.

$$ c := \left( 0,0,5,0,2,5, \cdots \right) \\ d := \left( 0,2,5,0,0,5, \cdots \right) $$ $k=2$ 에서 $c > d$ 임을 확인할 수 있다. $k \le 4$ 까지를 잘라내면 $d > c$ 가 될 수 있음에 주목하라. 다시 말해, 무한 수열 내에서 승부를 내는 것만이 문제가 아니라 승부를 내는 타이밍 역시 고려되어야한다.

$$ e := \left( 0,0,0,0,0,0, \cdots \right) \\ f := \left( 0,2,2,2,2,2, \cdots \right) $$ 모든 $k \ge 2$ 에서 $f(k) \le_{X} e(k)$ 이지만 $f(k+1) \ne e(k+1)$ 이므로 승부가 나지 않는다. 이에 따라 $e \times f$ 다.

대수적 구조

$X$ 에서 가위바위보의 성질을 유지하면서 항등원이 될만한 후보는 없으므로, 의미 있는 대수적 구조는 생각하기 어렵다.

거리 공간

자명하게도, 해밍 거리Hamming Distance $d$ 로써 거리공간을 생각할 수 있다. 이 공간의 토폴로지는 이산적Descrete이다.

삼진법을 생각해보면 $Y \sim [0,1]$ 이다. 다시 말해, 놈 같은 함수 $\left\| \cdot \right\|_{Y} : Y \to [0,1]$ 이 존재한다. $$ \left\| y \right\|_{Y} := \sum_{k=1}^{\infty} \tau \left( y(k) \right) {{ 1 } \over { 3^{k} }} = \tau \left( y(1) \right) {{ 1 } \over { 3 }} + \tau \left( y(2) \right) {{ 1 } \over { 3^{2} }} + \cdots $$ 여기서 $\tau(y)$ 는 $0 \mapsto 0$, $5 \mapsto 1$, $2 \mapsto 2$ 인 인코딩 매핑이다. $Y$ 는 벡터공간이 아니므로 실제로 놈 공간은 아닌 것에 주의하라.

다이내믹스

$$ p \left( x_{1} , x_{2} , x_{3} , \cdots \right) := \left( x_{2} , x_{3} , \cdots \right) $$ Poll 연산자 $p$ 를 위와 같이 정의하자. $t \in \mathbb{N}$ 에 대해 $p$ 의 $t$ 번 합성을 $p^{t+1} = p \cdot p^{t}$ 과 같이 재귀적으로 나타낸다.

$$ \begin{align*} h \left( 0, x_{2} , \cdots \right) :=& \left( 5, x_{2} , \cdots \right) \\ h \left( 2, x_{2} , \cdots \right) :=& \left( 0, x_{2} , \cdots \right) \\ h \left( 5, x_{2} , \cdots \right) :=& \left( 2, x_{2} , \cdots \right) \end{align*} $$

해킹Hacking 연산자 $h$ 를 위와 같이 정의하자.

미적분

가위바위보 수열 집합에서 형식적 미분 연산자 $D : Y \to \left\{ -, 0 , + \right\}_{k=1}^{\infty}$ 를 다음과 같이 정의한다. $$ (Dy)(k) := \begin{cases} + & , \text{if } y(k) < y(k+1) \\ 0 & , \text{if } y(k) = y(k+1) \\ - & , \text{if } y(k) > y(k+1) \end{cases} $$

위상 공간

유한 가위바위보 시퀀스 $x \in X^{n}$ 과 제$n$항까지 일치하는 가위바위보 시퀀스의 집합을 $S_{x} \subset Y$ 이라 나타내자. 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 이 집합을 모두 모아놓은 집합 $\mathscr{S} \subset 2^{Y}$ 를 기저로 생성된 토폴로지 $\mathscr{T}$ 를 가지는 $\left( Y, \mathscr{T} \right)$ 를 가위바위보 공간RPS Space이라 하자. $$ \mathscr{S} := \left\{ S_{x} = \left\{ y \in Y : y(k) = x(k) , \forall k \in [n] \right\} : x \in X^{n} , \forall n \in \mathbb{N} \right\} $$

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