상수 계수의 2계 선형 동차 미분방정식과 특성방정식

상수 계수의 2계 선형 동차 미분방정식과 특성방정식

second order linear homogeneous differential equation with constant coefficients and characteristic equation

정리1

상수 계수의 2계 선형 동차 미분방정식 $a y^{\prime \prime} + by^\prime +cy=0$의 일반해는 다음과 같다.

$$ y(x)=A e^{r_1 x}+Be^{r_2 x} $$

이 때, $r_{1,2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}} {2a}$

풀이

$$ \begin{equation} a\dfrac{d^2}{dx^2}y+b\dfrac{d}{dx}y+cy-0 \label{eq1} \end{equation} $$

우선 미분연산자 $D$를 다음과 같이 정의하자.

$$ D:=\dfrac{d}{dx} \\ Df = D(f) = \dfrac{df}{dx} $$

그러면 $D$는 $D(ay_{1}+y_{2}) = a\dfrac{dy_{1}}{dx} + \dfrac{dy_{2}}{dx} = aDy_{1}+Dy_{2}$를 만족하기 때문에 선형 연산자이다. $D$를 이용하여 식$\eqref{eq1}$을 표현하면 다음과 같다.

$$ \begin{align} &&aD^2y+bDy+cy&=0 \\ \implies&& (aD^2+bD+c)y&=0 \end{align} $$

이때 $Dy=ry$를 만족하는 상수 $r$이 있다고 하면 위 식으로부터 다음의 식을 얻는다.

$$ (aD^2+bD+c) y = (ar^2+br+c) y = 0 $$

우리는 $y \ne 0$인 해를 찾고 있으므로 다음의 조건을 얻는다

$$ aD^{2} + bD + c = ar^{2}+br+c = 0 $$

이 2차 방정식을 특성방정식characteristic equation이라고 한다. 특성방정식의 해는 근의 공식으로부터 다음과 같다.

$$ \begin{align*} r_1 &= \dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}} {2a} \\ r_2 &=\dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}} {2a} \end{align*} $$

$r_{1}, r_{2}$가 서로 다른 두 실수라고 하자. 그러면 위의 식들로부터 다음의 식을 얻는다.

$$ (aD^2 + bD+c)y=0 \implies \ a(D-r_1)(D-r_2)y=0 $$

  • Case 1. $(D-r_1)y=0$

    $\dfrac{dy}{dx}=r_1y$이고 변수분리법를 통해 $y$를 구하면

    $$ y_{1}(x)=Ae^{r_1t} $$

  • Case 2. $(D-r_2)y=0$

    비슷한 방법으로 $y$를 구하면

    $$ y_{2}(x)=Be^{r_2t} $$

$y_{1}$과 $y_{2}$가 주어진 미분방정식의 해면 $y_{1}+y_{2}$도 해이므로 주어진 미분방정식의 일반해는

$$ y(x)=y_{1}+y_{2}=Ae^{r_1t} + Be^{r_2t} $$


  1. William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p103-109 ↩︎

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