델 연산자가 두 번 들어간 수식, 2계 도함수

델 연산자가 두 번 들어간 수식, 2계 도함수

second derivative with del operator

$T$를 스칼라 함수, $\mathbf{A}$를 벡터 함수라고하자.

  • 그래디언트의 다이벌전스: $\nabla \cdot (\nabla T) = \dfrac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}} + \dfrac{\partial ^{2} T} {\partial y^{2}} + \dfrac{\partial ^{2} T}{\partial z^{2}}$

  • 그래디언트의 컬: $\nabla \times (\nabla T)=0$

  • 다이벌전스의 그래디언트: $\nabla (\nabla \cdot \mathbf{A} )$

  • 컬의 다이벌전스: $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A})=0$

  • 컬의 컬: $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=\nabla ( \nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla ^{2} \mathbf{A}$


설명

그래디언트와 컬의 결과가 벡터이고, 다이벌전스의 결과가 스칼라이므로 2계 도함수는 총 다섯 종류가 있다.

그래디언트의 다이벌전스

그래디언트의 다이벌전스에는 특별히 라플라시안이라는 이름이 붙어있으며 간단하게 $\nabla^{2}$로 표기한다.

$$ \begin{align*} \nabla \cdot (\nabla T) &= \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \hat{\mathbf{x}} + \dfrac{\partial}{\partial y} \hat{\mathbf{y}} + \dfrac{ \partial }{\partial z} \hat {\mathbf{z}} \right) \cdot \left( \dfrac{\partial T}{\partial x} \hat{\mathbf{x}} + \dfrac{ \partial T}{\partial y} \hat{\mathbf{y}} + \dfrac{\partial T}{\partial z} \hat{\mathbf{z}} \right) \\ &= \dfrac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}} + \dfrac{\partial ^{2} T} {\partial y^{2}} + \dfrac{\partial ^{2} T}{\partial z^{2}} \\ &= \nabla^{2} T \end{align*} $$

라플라시안은 기본적으로 스칼라 함수에 취하는 연산자이지만, 아래의 경우처럼 벡터에 대해서 사용한다면 벡터의 각 성분(스칼라)에 라플라시안을 취하라는 뜻이다. 다시 말해서 정확한 정의는 아니지만 편의를 위해서 사용하는 것이며 이를 벡터 라플라시안이라 부르기도 한다.

$$ \nabla^{2} \mathbf{A} \equiv (\nabla^{2} A_{x} ) \hat{\mathbf{x}} + (\nabla^{2} A_{y}) \hat{\mathbf{y}} + (\nabla^{2} A_{z} ) \hat{\mathbf{z}} $$

그래디언트의 컬

그래디언트의 컬은 항상 $\mathbf{0}$이다.

$$ \nabla \times (\nabla T) = \mathbf{0} $$

다이벌전스의 그래디언트

다이벌전스의 그래디언트는 이름도 없고 딱히 특별한 성질도 가지고 있지 않다. 물리학에서 나올 일이 거의 없으며 중요하지도 않다. 라플라스 연산과 헷갈리지 않게 주의하자.1

컬의 다이벌전스

컬의 다이벌전스는 항상 $0$이다.

$$ \nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{A})=0 $$

컬의 컬

컬의 컬은 ‘다이벌전스의 그래디언트’와 ‘벡터 라플라시안’의 합으로 나타낼 수 있다.

$$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^{2} \mathbf{A} $$

이 때 $\nabla ^{2} \mathbf{A}$는 벡터 라플라시안임에 주의하라.


  1. David J. Griffiths, 기초전자기학(Introduction to Electrodynamics, 김진승 역)(4th Edition). 2014, p25 ↩︎

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