슈발치언 도함수

슈발치언 도함수

Schwarzian derivative

정의1

$p$ 가 스무스한 맵 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 의 고정점 혹은 피리어딕 포인트라고 하자.

  1. $f ' (c) = 0$ 인 $c$ 를 $f$ 의 크리티컬 포인트Critical Point라 한다.
  2. $p$ 의 베이신이 길이가 무한한 인터벌을 포함하면 인피닛 베이신Infinite Basin이라 한다.
  3. $\displaystyle S(f)(x) := {{f’’’(x) } \over { f '(x) }} - {{3} \over {2}} \left( {{f’’’(x) } \over { f '(x) }} \right)^2$ 를 $f$ 의 슈발치언 도함수라 한다.
  4. $f ' (x) \ne 0$ 인 모든 $x$ 에 대해 $S(f)(x) < 0$ 이면 $f$ 가 네거티브 슈발치언 을 갖는다고 한다.
  5. $\displaystyle h(x) := {{ax + b} \over {cx + d}}$ 를 뫼비우스 맵이라고 한다.

정리

  • [1]: $h$ 는 뫼비우스 맵 $\iff$ $S(h)(x) = 0$
  • [2]: $f$ 와 $g$ 가 네거티브 슈발치언을 가지면 $f \circ g$ 도 네거티브 슈발치언을 갖는다.
  • [3]: $f$ 가 네거티브 슈발치언을 가지면 $f^{k}$ 도 네거티브 슈발치언을 갖는다.
  • [4]: $p$ 가 네거티브 슈발치언을 가지는 $f$ 의 고정점 혹은 피리어딕 포인트면
    • ①: $p$ 의 베이신에 크리티컬 포인트가 존재하거나
    • ②: $p$ 가 인피닛 베이신을 가지거나
    • ③: $p$ 는 소스다.

  1. Yorke. (1996). CHAOS: An Introduction to Dynamical Systems: p132. ↩︎

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