슈바르츠 공간과 슈바르츠 함수

슈바르츠 공간과 슈바르츠 함수

정의

아래의 두 조건을 만족하는 함수 $\phi : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{C}$들의 집합을 슈바르츠 공간Schwartz space이라 하고 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$로 표기한다. 슈바르츠 공간의 원소 $\phi$를 슈바르츠 함수Schwartz function라 한다.


(b) 를 다시 쓰면 다음과 같다.

$$ \mathbf{x}^{ \beta}D^{\alpha}\phi(\mathbf{x})\to 0 \text{ as } \left| \mathbf{x} \right|\to \pm \infty \quad \forall \alpha, \beta $$

설명

초함수, 미분등의 다양한 작용을 테스트 함수에 적용하는 것으로 정의했다. 그러면 이와 같은 센스로 초함수의 푸리에 변환을 아래와 같이 정의하려는 시도를 할 수 있다.

$$ \widehat{T^{}}(\phi):=T \big( \hat{\phi} \big) $$

하지만 $\phi$가 테스트 함수라 할지라도 $\widehat{\phi}$가 컴팩트 서포트를 가지지 못해 테스트 함수가 아니게 될 수 있다. 따라서 초함수의 푸리에 변환이 잘 정의되지 않는다. 그래서 푸리에 변환이 잘 정의될 수 있도록 테스트 함수 공간을 확장하여 새롭게 정의한 공간이 슈바르츠 공간이다.

(a) 를 보면 테스트 함수의 조건과 달리 컴팩트 서포트를 가져야 한다는 조건이 없다. 이 때문에 (b) 라는 조건이 추가된 것이다. 테스트 함수는 컴팩트 서포트를 가진다는 강력한 조건이 있기 때문에 함수의 모양에 제한을 둘 필요가 없었다. 이에 반해 슈바르츠 함수는 컴팩트 서포트를 가져야한다는 조건이 없으므로, 수직선 끝에서의 그래프 모양을 제한하기 위해 어떤 다항 함수보다도 빨리 함수값이 줄어들게 하는 조건인 (b) 가 필요한 것이다. 실제로 테스트 함수 공간이 슈바르츠 함수 공간의 진 부분 집합임을 보여서 잘 확장시켰다는 것을 알 수 있다.

$$ \mathcal{D}(\mathbb{R}^{n}) \subsetneq \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n}) $$

또한 슈바르츠 함수의 정의에 의해 아래의 성질이 만족함을 알 수 있다.


$\phi \in \mathcal{S(\mathbb{R}^{n})}$, $x,y\in\mathbb{R}^{n}$, $a\in \mathbb{R}\setminus \left\{ 0 \right\}$이고 $P(x)$가 임의의 다항식이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

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