스칼라 함수와 벡터 함수

스칼라 함수와 벡터 함수

Scalar Function and Vector Function

정의

집합 $D$ 를 $n$차원 유클리드 공간부분집합 $D\subset \mathbb{R}^{n}$ 이라 하자.

  1. $D$ 를 정의역으로 갖는 함수를 다변수 함수라 한다.
  2. $f : D \to \mathbb{R}$ 을 스칼라 함수라 한다.
  3. 스칼라 함수 $f_{1} , \cdots , f_{m} : D \to \mathbb{R}$ 에 대해 다음과 같이 정의된 $\mathbb{f} : D \to \mathbb{R}^{m}$ 를 벡터 함수라 한다. $$ \mathbb{f} ( x_{1} , \cdots , x_{n} ) : = \begin{bmatrix} f_{1} ( x_{1} , \cdots , x_{n} ) \\ \vdots \\ f_{m} ( x_{1} , \cdots , x_{n} ) \end{bmatrix} $$

설명

다변수 함수

다변수 함수라는 표현은 특히 미적분학을 위시한 해석학에서 쓰는 표현이다. 애초에 스칼라 함수든 벡터 함수든 그냥 함수는 함수일 뿐인데, 그 공역을 쉽게 구분하기 위해 사용하는 단어에 지나지 않는다. 선형대수학의 관점으로 보자면 벡터 함수가 $m=1$ 이면 스칼라 함수가 된다고 말할 수 있으므로 개념적인 차이는 전혀 없다고 할 수 있다.

스칼라 함수

스칼라 함수의 예로써 $ F ( m , a ) := ma$ 를 생각해볼 수 있다. $m$ 이 질량이든 $a$ 가 가속도든 수학도의 눈에는 $(m , a) \in \left( [0,\infty) \times \mathbb{R} \right) \subset \mathbb{R}^2$ 와 같은 $2$차원 벡터로 보여야한다. $ma$ 는 단순히 두 실수 $m$ 과 $a$ 의 곱이고, $ma \in \mathbb{R}$ 이므로 스칼라 함수의 조건을 잘 만족시킨다. 한편 벡터 미적분학에서는 주어진 공간상의 모든 점마다 스칼라 값이 하나씩 대응된다는 점에서 스칼라장Scalar Field라 부르기도 한다.

벡터 함수

벡터 함수의 예로써
$$ \mathbb{q} ( m , v , a ) : = \begin{bmatrix} ma \\ mv \\ {{1} \over {2}} m v^2 \end{bmatrix} $$ 를 생각해볼 수 있다. 물리학도의 눈에는 첫번째 성분부터 차례로 힘, 운동량, 운동에너지겠지만 벡터 함수라는 점만 생각해보면 그저 $\mathbb{q} : D \to \mathbb{R}^3$ 에 지나지 않는다. 한편 벡터 미적분학에서는 주어진 공간상의 모든 점마다 벡터가 하나씩 대응된다는 점에서 벡터장Vector Field라 부르기도 한다.

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