환에서 곱셈에 대한 규칙

환에서 곱셈에 대한 규칙

정리

$a,\ b,\ c$가 환 $R$의 원소이고 $0$이 덧셈에 대한 항등원이라고 하면 아래의 성질이 성립한다.

  1. $a0=0a=0$
  2. $a(-b)=(-a)b=-(ab)$
  3. $(-a)(-b)=ab$
  4. $a(b-c)=ac-ac \ \ \And\ \ (b-c)a=ba-ca$ 에 대한 항등원인 단위원 $1$이 존재하면 아래의 성질 또한 성립한다.
  5. $(-1)a=-a$
  6. $(-1)(-1)=1$

증명

1.

덧셈에 대한 항등원과 어떤 원소를 곱해도 다시 덧셈에 대한 항등원이 된다는 내용이다. $$ a0=a(0+0)=a0+a0 $$ 이 때 $a0$는 환 $R$의 원소이므로 덧셈에 대한 역원이 존재한다. 따라서 Cancellation에 의해 양변에 $-a0$를 더하면 $$ a0-a0=a0+a0-a0 \implies 0=a0 $$ 같은 방식으로 $$ 0a=(0+0)a=0a+0a \implies 0a-0a=0a+0a-0a \implies 0=0a $$ 따라서 $a0=0a=0$ 이다.

2.

환 $R$은 곱셈에 대하여 분배법칙이 성립하므로 $$ ab+a(-b)=a\left( b + (-b) \right)=a0 $$ 정리 1에 의해서 $a0=0$이므로 $$ ab+a(-b)=0 $$ $ab$에 $a(-b)$를 더하여 항등원 $0$이 나왔으므로 $a(-b)$는 $ab$의 덧셈에 대한 항등원이다. 즉, $$ a(-b)=-(ab) $$ 이고 같은 방식으로 $$ ab+(-a)b=(a-a)b=0b=0 $$ 에서 $(-a)b=-(ab)$을 얻는다. 마지막으로 다음을 얻는다. $$ a(-b)=(-a)b=-(ab)=-ab $$

3.

정리 2에 의해 $$ (-a)(-b) =-\left( (-a)b\right) =-\left( -(ab) \right) $$ 역원의 역원은 자기 자신이므로 다음을 얻는다. $$(-a)(-b)=ab$$

4.

$$ a(b-c)=a(b+(-c))=ab+a(-c) $$ 정리 2에 의해 $a(-c)=-(ac)=-ac$ 이므로 $$ a(b-c)=ab-ac $$ 이다. 같은 방식으로 다음을 얻는다. $$ (b-c)a=ba+(-c)a=ba-ca $$

5.

정리 2에 의해 $(-1)a=-(1a)$이다. $1$은 곱셈에 대한 항등원이므로 $1a=a$이고, 따라서 $(-1)a=-a$ 다.

6.

정리 3의 증명에서처럼 정리 2를 반복해서 적용하면 다음과 같다. $$ (-1)(-1)=-(1(-1))=-(-(1\cdot 1))=-(-1)=1 $$

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