평면곡선의 회전수

평면곡선의 회전수

빌드업

평면 곡선의 탄젠트가 얼마나 도는지를 논하기 이전에, 알맞는 각도 함수같은 것을 먼저 생각해 보려 한다. 평면에서 수평선(x축)과 점 $p$ 에서 탄젠트 $t$ 로 만들어지는 각의 크기를 $\overline{\theta} (p)$ 와 같이 나타내도록 하자. 문제는 그 값이 $0 \le \overline{\theta} \le 2\pi$ 이므로 $0$ 에서 $\overline{\theta}$ 가 연속이 아니라는 것이다.

이를 극복하기 위해 우리가 고려할 각도 $\theta$ 는 위와 같이 사분면들의 연결로 만들어지는 4가지 반평면에서 진행방향으로 연속인 것으로 정의한다. 평면 곡선이 정칙 곡선이라면 갑자기 탄젠트가 인접하지 않은 사분면으로 튈 걱정이 없으므로 $\theta$ 의 연속성이 보장된다. 더 간단하게는, $0 \le \theta \le 2\pi$ 같은 제한을 두지 말고 여러번 돌면 여러번 도는만큼 계속해서 가던 방향대로 각도가 커지면 된다.

정의 1

길이가 $L$ 인 단위 스피드 폐곡선 $\alpha$ 에 대해 다음의 정수를 $\alpha$ 의 회전수Rotation Index라 한다. $$ i_{\alpha} = {{ \theta(L) - \theta (0) } \over { 2\pi }} = {{ \theta(L) } \over { 2\pi }} $$

예시

반시계방향 단순 곡선

1

어떤 점에서 시작하든 길이 $L$ 만큼 움직이면, 즉 한 바퀴를 돌고나면 각도는 $2\pi$ 만큼 변하므로 회전수는 $\displaystyle i_{\alpha} = {{ 2 \pi } \over { 2 \pi }} = 1$ 이다.

시계방향 단순 곡선

2

한 바퀴를 도는 건 똑같은데 반대방향으로 돌아서 부호만 반대가 되어 회전수는 $-1$ 이다.

두 번 말려있는 곡선

3

회전수의 정의가 제대로 돼있다면 두 번 말린 곡선은 상식적으로 회전수가 $2$ 여야할 것이다. 실제로 선을 따라가보면 어떻게든 $\theta(L) = 4 \pi$ 이다. 당연하지만 이 곡선은 꼬이는 부분이 있기 때문에 단순곡선은 아니다.

8자 곡선

4

오른쪽 날개에 있는 한 점에서 시작해 직접 선을 따라가보면 왼쪽 날개에 들어가면서 $2 \pi$ 가 되려다 말고 $\theta (L) = 0$ 으로 끝난다. 어떻게보면 오른쪽에서 $+1$, 왼쪽에서 $-1$ 이 되어 회전수가 상쇄된 것으로 보이기도 한다.

복잡한 곡선

보기만 해도 복잡한 곡선을 하나 상상해보자.

5

물론 위에서 봤던 예시들처럼 직접 선을 잡고 돌려봐도 좋지만, 이제까지 예시들을 보면 결국 빨간색 회전이 $+1$, 파란색 회전이 $-1$ 이라는 수학적 직관이 들 것이다.

5-2

꼬인 곡선의 겹치는 부분을 떼어내서 각각을 따로 생각해보면 이 복잡한 곡선의 회전 수 역시 간단하게 계산해낼 수 있다. 물론 이들 각각은 꼬인 부분 때문에 단순 곡선이라고 할 수 없지만, 회전 수를 생각하기에는 충분할 수 있다.


  1. Millman. (1977). Elements of Differential Geometry: p55. ↩︎

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