로드리게스 공식
rodrigues formula
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$$ P_l(x)=\dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l $$
이 글 에서 르장드르 미분 방정식의 해가 멱급수 꼴이라고 가정하고 풀어서 구한 해를 르장드르 다항식이라 했다. 각 $l$에 대한 정확한 드장드르 다항식을 얻는 방법이 있는데 그게 로드리게스 공식이다. 로드리게스 공식이 르장드르 방정식의 해가 됨을 보이는 과정은 아래와 같다.우선 $v=(x^2-1)^l$이라고 했을 때 $\dfrac{d^lv}{dx^l}$가 르장드르 방정식의 해가 됨을 보일 것이다. $$ \dfrac{dv}{dx}=l(2x)(x^2-1)^{l-1} $$ 양 변에 $(x^2-1)$을 곱하면 $$ (x^2-1)\dfrac{dv}{dx}=2lx(x^2-1)^l=2lxv $$ 양 변을 $l+1$번 미분하면 라이프니츠 규칙 에 의해 $$ \sum \limits_{k=0}^{l+1} {}_{l+1}\mathrm{C}_k \dfrac{ d^{l+1-k}}{dx^{l+1-k} } \left( \dfrac{dv}{dx} \right) \dfrac{d^k}{dx^k} (x^2-1) = 2l\sum \limits_{k=0}^{l+1} {}_{l+1}\mathrm{C} _{k} \dfrac{d^{l+1-k} v}{dx^{l+1-k}} \dfrac{d^k x}{dx^k} $$ 이 때 좌변은 $k \ge 3$일 때 $\dfrac{d^k}{dx^k}(x^2-1)=0$이므로 $k=0,2,3$인 항만 남는다. 우변은 $k \ge 2$일 때 $\dfrac{d^kx}{dx^k}=0$이므로 $k=1,2$인 항만 남는다. 따라서 $$ (x^2-1)\dfrac{d^{l+2} v}{dx^{l+2}} + (l+1)(2x)\dfrac{d^{l+1}v}{dx^{l+1}}+\dfrac{l(l+1)}{2!}2\dfrac{d^l v}{dx^l}=2lx\dfrac{d^{l+1} v}{dx^{l+1}} + 2l(l+1)\dfrac{d^lv}{dx^l} $$ 같은 계수항끼리 묶어서 잘 정리하면 $$ (1-x^2)\left( \dfrac{d^l v}{dx^l} \right)^{\prime \prime} -2x\left( \dfrac{d^lv}{dx^l} \right)^{\prime} + l(l+1)\dfrac{d^lv}{dx^l}=0 $$ 이는 르장드르 방정식과 같은 모양이다. 즉, $\dfrac{d^l v}{dx^l}$이 르장드르 방정식의 해가 된다는 말이다. $$ P_l(x)= \dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l $$ 여기까지만 구하면 처음 소개한 공식과 모양이 다르다. 맨 위의 공식은 $P_l(1)=1$을 만족하는 꼴이다. 앞의 계수를 구하는 방법은 아래와 같다.$(x^2-1)^l$을 $(x-1)^l(x+1)^l$로 인수분해하고 라이프니츠 규칙으로 $l$번 미분하면 $$ \begin{align*} P_l(x) &= \dfrac{d^l}{dx^l} \left[ (x-1)^l (x+1)^l \right] \\ &= \sum\limits_{k=0}^l {}_{l}\mathrm{C}_k \dfrac{d^{l-k}}{dx^{l-k}}(x-1)^l \dfrac{d^k}{dx^k}(x+1)^l \\ &= {}_{l}\mathrm{C}_0 l! (x+1)^l + {}_{l}\mathrm{C}_1 l!(x-1) l(x+1)^{l-1}+{}_{l}\mathrm{C}_2\dfrac{l!}{2}(x-1)^2l(l-1)(x+1)^{l-2}+\cdots \end{align*} $$ 2번째 항부터는 인수로 $(x-1)$을 포함하기 때문에 $x=1$일 때 $0$이다. $P_l(1)=l! 2^l$이고 이 값이 $1$이 되기 위해선 $\dfrac{1}{2^l l!}$만큼 나눠주면 된다. 따라서 최종적으로 구한 로드리게스 공식은 $$ P_l(x)=\dfrac{1}{2^l l!}\dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l $$
