라게르 다항식의 로드리게스 공식
rodrigues formula of laguerre polynomial
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**라게르 다항식의 로드리게스 공식
$$ L_{n}(x)=\frac{1}{n!}e^{x}\frac{ d ^{n}}{ dx^{n} }(x^{n}e^{-x}) $$
위 공식이 라게르 미분 방정식을 만족함을 보이면 공식이 맞음을 보이는 것과 같다. 편의를 위해 미분 연산자 $D=\frac{ d }{ d x }$를 도입하자. $Df=\frac{ d f}{ d x }=f^{\prime}$이고 상황에 따라서 두 표현을 증명에서 적절히 사용하겠다.
증명1 2
로드리게스 공식을 $f(x)=\frac{e^{x}}{n!}\frac{ d ^{n}}{ d x^{n} }(x^{n}e^{-x})$라고 하자. 그리고 $v=x^{n}e^{-x}$라고 하자. 우선 $xv^{\prime}=(n-x)v$가 됨을 보일 것이다. $$ \begin{align*} && v^{\prime}&=nx^{n-1}e^{-x}-x^{n}e^{-x} \\ \implies && xv^{\prime}&=nx^{n}e^{-x}-xx^{n}e^{-x} \\ && &=(n-x)v \end{align*} $$ 이제 양변을 $n+1$번 미분하자. 우선 좌변부터 미분하면 라이프니츠 규칙에 의해 $$ \begin{align*} D^{n+1}(xv^{\prime}) &= \sum \limits _{k=0}^{n} \frac{(n+1)!}{(n+1-k)!k!}(D^{k}x)(D^{n+1-k}v^{\prime}) \\ &= \sum \limits _{k=0}^{1} \frac{(n+1)!}{(n+1-k)!k!}(D^{k}x)(D^{n+1-k}v^{\prime}) \end{align*} $$ 두번째 등호는 $k \ge 2$일 때 $D^{k}x=0$이므로 성립한다. 합기호를 풀면 $$ \begin{align*} D^{n+1}(xv^{\prime})&=xD^{n+1}v^{\prime}+(n+1)D^{n}v^{\prime} \\ &= x(D^{n}v)^{\prime \prime} +(n+1)(D^{n}v)^{\prime} \end{align*} $$ 이와 마찬가지로 우변은 $$ \begin{align*} D^{n+1}\left[ (n-x)v \right] &= \sum \limits _{k=0}^{n}\frac{(n+1)!}{(n+1-k)!k!}\left[D^{k}(n-x)\right] (D^{n+1-k}v) \\ &=\sum \limits _{k=0}^{1}\frac{(n+1)!}{(n+1-k)!k!}\left[D^{k}(n-x)\right] (D^{n+1-k}v) \\ &=(n-x)D^{n+1}v+(n+1)(-1)D^{n}v \\ &= (n-x)(D^{n}v)^{\prime}-(n+1)D^{n}v \end{align*} $$ 따라서 $$ \begin{align*} && D^{n+1}(xv^{\prime})&=D^{n+1}[(n-x)v] \\ \implies && x(D^{n}v)^{\prime \prime} +(n+1)(D^{n}v)^{\prime}&=(n-x)(D^{n}v)^{\prime}-(n+1)D^{n}v \end{align*} $$ 이를 정리하면 $$ x(D^{n}v)^{\prime \prime} +(1+x)(D^{n}v)^{\prime}+(n+1)D^{n}v=0 $$ 그런데 가정에 의해 $$ D^{n}v=\frac{ d ^{n}}{ dx^{n} }(x^{n}e^{-x})=n!e^{-x}f(x) $$ 이다. 이를 위의 식에 대입하면 $$ x[n!e^{-x}f(x)]^{\prime \prime}+(1+x)[n!e^{-x}f(x)]^{\prime}+(n+1)[n!e^{-x}f(x)]=0 $$ 미분을 다 풀어보면 아래와 같다. 간단한 계산이므로 과정은 생략한다. $$ n!e^{-x} \left[ xf^{\prime \prime}(x)+(1-x)f^{\prime}(x)+nf(x) \right]=0 $$ 이때 $$ xf^{\prime \prime}(x)+(1-x)f^{\prime}(x)+nf(x)=0 $$ 은 라게르 미분 방정식이다. 따라서 $f(x)$는 라게르 미분 방정식의 해인 라게르 다항식이다. 즉, $$ f(x)=\frac{e^{x}}{n!}\frac{ d ^{n}}{ d x^{n} }(x^{n}e^{-x})=L_{n}(x) $$
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로드리게스 공식에 라이프니츠 규칙을 적용하면 아래의 식을 얻는다.라게르 다항식 $$ L_{n}(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}\frac{x^{k}}{m!} $$
라이프니츠 규칙을 적용해서 계산만 하면 어렵지 않게 보일 수 있다.증명 로드리게스 공식에 라이프니츠 규칙을 적용하면 $$ \begin{align*} \frac{1}{n!}e^{x}\frac{ d ^{n}}{ dx^{n} }(x^{n}e^{-x}) &= \frac{1}{n!}e^{x}\sum \limits _{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{ d ^{n-k}}{ dx^{n-k} }x^{n}\frac{ d ^{k}}{ dx^{k} }e^{-x} \\ &=\frac{1}{n!}e^{x}\sum \limits _{k=0}^{n}\binom{n}{k}\Big[n(n-1)\cdots(n-n+k+1)x^{k}\Big] (-1)^{k}e^{-x} \\ &=\frac{1}{n!}\sum \limits _{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}\frac{n(n-1)\cdots(k+1)k! }{k!}x^{k} \\ &=\sum \limits _{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}\frac{x^{k} }{k!} \\ &=\frac{1}{n!}\sum \limits _{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}\frac{n! }{k!}x^{k} \end{align*} $$
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