미분기하학에서 리만 곡률 텐서, 가우스 방정식, 코다찌-마이나르디 방정식 📂기하학

미분기하학에서 리만 곡률 텐서, 가우스 방정식, 코다찌-마이나르디 방정식

Riemannian Curvature Tensor, Gauss's Equations, and Codazzi-Mainardi Equations in Differential Geometry

정의1

$\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$를 곡면 $M$ 위의 좌표조각사상이라고 하자. $(u^{1}, u^{2})$를 $U$의 좌표라 하자. $\mathbf{x}$에서 크리스토펠 심볼 $\Gamma_{ij}^{k}$와 제2 기본형식의 계수 $L_{ij}$가 주어졌다고 하자.

리만 곡률 텐서의 계수coefficients of Riemannian curvature tensor $R_{ijk}^{l}$를 아래와 같이 정의한다.

$$ R_{ijk}^{l} = \dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{l}}{\partial u^{j}} - \dfrac{\partial \Gamma_{ij}^{l}}{\partial u^{k}} + \sum_{p} \left( \Gamma_{ik}^{p} \Gamma_{pj}^{l} - \Gamma_{ij}^{p}\Gamma_{pk}^{l}\right) \for 1 \le i,j,k,l \le 2 $$

이때 $\Gamma_{ij}^{k}$는 크리스토펠 심볼이다.

설명

크리스토펠 심볼이 내재적이므로 리만 곡률 텐서도 내재적이다.

미분기하에서 등장하는 계수라는 이름이 붙은 아이들은 좌표계에 의존하지 않는다는 특징이 있다. 우리는 이러한 것들을 보고 텐서tensor라고 부른다.

가우스 방정식은 제2 기본형식바인가르텡 맵의 관점에서 $R_{ijk}^{l}$의 외재적인 표현을 제공한다.

정리

  • 가우스 방정식Gauss’s equations

$$ R_{ijk}^{l} = L_{ik}L_{j}^{l} - L_{ij}L_{k}^{l} $$

  • 코다찌-마이나르디 방정식Codazzi-Mainardi equations

$$ \dfrac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}_{}} - \dfrac{\partial L_{ik}}{\partial u^{j}} = \sum\limits_{l} \left( \Gamma_{ik}^{l}L_{lj} - \Gamma_{ij}^{l}L_{lk} \right) $$

여기서 $L_{j}^{i}$는 바인가르텡 맵행렬표현의 성분이다.

증명

두 식을 동시에 증명한다. $\mathbf{x} : U \to \R^{3}$를 좌표조각사상이라 하자. $(u^{1}, u^{2})$를 $U$의 좌표라고 하자.

가우스 공식

$$ \mathbf{x}_{ij} = L_{ij} \mathbf{n} + \sum \limits_{l=1}^{2} \Gamma_{ij}^{l} \mathbf{x}_{l} $$

우선 가우스 공식에 의해 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} \mathbf{x}_{i j k} &= \dfrac{\partial}{\partial u^{k}}\left( L_{ij} \mathbf{n} + \sum \limits_{l=1}^{2} \Gamma_{ij}^{l} \mathbf{x}_{l} \right) \\ &= \frac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}}\mathbf{n} + L_{i j} \mathbf{n}_{k}+\sum\limits_{l} \frac{\partial \Gamma_{i j}^{l}}{\partial u^{k}} \mathbf{x}_{l}+\sum\limits_{l}\Gamma_{i j}^{l} \mathbf{x}_{l k} \end{align*} $$

이때 $\mathbf{n}_{k} = \mathbf{x}_{k}\mathbf{n} = - L(\mathbf{x}_{k}) = -\sum\limits_{l}L_{k}^{l}\mathbf{x}_{l}$이므로, 두번째 항은 $L_{ij}\mathbf{n}_{k} = -\sum\limits_{l} L_{i j} L_{k}^{l} \mathbf{x}_{l}$이다. 또한 네번째 항에 가우스 공식을 다시 적용하면,

$$ \sum\limits_{l} \Gamma_{ij}^{l} \mathbf{x}_{l k} = \sum\limits_{l} \Gamma_{i j}^{l}L_{lk} \mathbf{n} + \sum\limits_{l,m}\Gamma_{i j}^{l}\Gamma_{lk}^{m} \mathbf{x}_{m} $$

이를 대입하면 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} \mathbf{x}_{i j k} &= \frac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}}\mathbf{n} -\sum\limits_{l} L_{i j} L_{k}^{l} \mathbf{x}_{l} + \sum\limits_{l} \frac{\partial \Gamma_{i j}^{l}}{\partial u^{k}} \mathbf{x}_{l} + \sum\limits_{l} \Gamma_{i j}^{l}L_{lk} \mathbf{n} + \sum\limits_{l,m}\Gamma_{i j}^{l}\Gamma_{lk}^{m} \mathbf{x}_{m} \\ &= \frac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}}\mathbf{n} -\sum\limits_{l} L_{i j} L_{k}^{l} \mathbf{x}_{l} + \sum\limits_{l} \frac{\partial \Gamma_{i j}^{l}}{\partial u^{k}} \mathbf{x}_{l} + \sum\limits_{l} \Gamma_{i j}^{l}L_{lk} \mathbf{n} + \sum\limits_{p,l}\Gamma_{i j}^{p}\Gamma_{pk}^{l} \mathbf{x}_{l} \\ &= \left( \frac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}} + \sum\limits_{l} \Gamma_{i j}^{l}L_{lk} \right)\mathbf{n} + \sum\limits_{l} \left(\frac{\partial \Gamma_{i j}^{l}}{\partial u^{k}} - L_{i j} L_{k}^{l} + \sum\limits_{p}\Gamma_{i j}^{p}\Gamma_{pk}^{l} \right)\mathbf{x}_{l} \end{align*} $$

$l,m$은 더미 인덱스이므로, 마지막항의 인덱스를 $(l,m) \to (p,l)$로 바꿔주고, 항을 묶었다. 위와 비슷하게 다음을 얻는다.

$$ \mathbf{x}_{ikj} = \left( \frac{\partial L_{ik}}{\partial u^{j}} + \sum\limits_{l} \Gamma_{i k}^{l}L_{lj} \right)\mathbf{n} + \sum\limits_{l} \left(\frac{\partial \Gamma_{i k}^{l}}{\partial u^{j}} - L_{i k} L_{j}^{l} + \sum\limits_{p}\Gamma_{i k}^{p}\Gamma_{pj}^{l} \right)\mathbf{x}_{l} $$

이때 좌표조각사상 $\mathbf{x}$는 충분히 미분가능하다고 가정하므로,

$$ \mathbf{x}_{i j k}=\frac{\partial^{3} \mathbf{x}}{\partial u^{k} \partial u^{j} \partial u^{i}}=\frac{\partial^{3} \mathbf{x}}{\partial u^{j} \partial u^{k} \partial u^{i}}=\mathbf{x}_{i k j} $$

$\left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{n} \right\}$은 $\mathbb{R}^{3}$의 기저이므로, $\mathbf{x}_{ijk}$와 $\mathbf{x}_{ikj}$의 각 성분은 서로 같아야한다. 따라서 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} && \frac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}} + \sum\limits_{l} \Gamma_{i j}^{l}L_{lk} &= \frac{\partial L_{ik}}{\partial u^{j}} + \sum\limits_{l} \Gamma_{i k}^{l}L_{lj} \\ \implies && \frac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}} - \frac{\partial L_{ik}}{\partial u^{j}} &= \sum\limits_{l} \left( \Gamma_{i k}^{l}L_{lj} - \Gamma_{i j}^{l}L_{lk} \right) \end{align*} $$

코다찌-마이나르디 방정식이 증명되었다. 계속해서 같은 논리로 다음의 등식이 성립한다.

$$ \frac{\partial \Gamma_{i j}^{l}}{\partial u^{k}} - L_{i j} L_{k}^{l} + \sum\limits_{p}\Gamma_{i j}^{p}\Gamma_{pk}^{l} = \frac{\partial \Gamma_{i k}^{l}}{\partial u^{j}} - L_{i k} L_{j}^{l} + \sum\limits_{p}\Gamma_{i k}^{p}\Gamma_{pj}^{l} $$

잘 정리하면 다음을 얻는다.

$$ L_{i k} L_{j}^{l} - L_{i j} L_{k}^{l} = \frac{\partial \Gamma_{i k}^{l}}{\partial u^{j}} - \frac{\partial \Gamma_{i j}^{l}}{\partial u^{k}} + \sum\limits_{p} \left( \Gamma_{i k}^{p}\Gamma_{pj}^{l} - \Gamma_{i j}^{p}\Gamma_{pk}^{l} \right) = R_{ijk}^{l} $$

가우스 방정식이 증명되었다.

같이보기


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p141-142 ↩︎

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