리만 제타 함수

리만 제타 함수

Riemann zeta Function

정의

다음과 같이 정의된 함수 $\zeta : \mathbb{C} \setminus \left\{ 1 \right\} \to \mathbb{C}$ 를 리만 제타 함수Riemann zeta Function</sup라고 한다. $$ \zeta (s) := \sum_{n \in \mathbb{N}} n^{-s} = \prod_{p : \text{prime}} \left( 1- {p^{-s}} \right)^{-1} $$

관련 정리

  • [0] 라마누잔 합: $\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} x^{n-1} = {{ 1 } \over { 1-x }}$ 이 $|x| = 1$ 에서도 성립한다는 주장을 받아들인다면 $$ \zeta (0) = 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots = - {{ 1 } \over { 2 }} $$

  • [1] 오렘의 증명 : $\zeta (1)$ 이 정의되지 않는 이유는 다음과 같다. $$ \zeta (1) = \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { n }} = \infty $$

  • [2] 오일러의 증명: $$ \zeta (2) = \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { n^{2} }} = {{ \pi^{2} } \over { 6 }} $$

  • [a] 감마 함수와의 관계 : $\text{Re} (s) > 1$ 이면 $$ \zeta (s) \Gamma (s) = \mathcal{M} \left[ {{ 1 } \over { e^{x} - 1 }} \right] (s) = \int_{0}^{\infty} {{ x^{s-1} } \over { e^{x} - 1 }} dx $$

  • [b] 디리클레 에타 함수와의 관계 : $$ \eta (s) := \sum_{n \in \mathbb{N}} (-1)^{n-1} n^{-s} $$

설명

제타 함수는 실수부가 $1$ 보다 큰 복소수, 즉 $\text{Re} (s) > 1$ 인 $s$ 에서 수렴하며, 감마 함수와의 관계를 가진다. 특히 정수론과 복소해석에서 관심의 대상이 되어왔으며, 그 악명 높은 리만 가설의 주인공이기도 하다.

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