리만 자이 함수

리만 자이 함수

정의

다음과 같이 정의된 함수 $\xi$ 를 리만 자이 함수Riemann xi Function라고 한다. $$ \xi (s) := {{ 1 } \over { 2 }} s ( s-1) \pi^{-s/2} \zeta (s) \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) $$


설명

리만 자이 함수는 원래 이와 다른 조금 형태로 정의되어있었으나, 에드문트 란다우Edmund Landau에 의해 소문자 자이 $\xi$ 로 다시 정의되고 원래 리만 자이 함수는 대문자 $\Xi$ 를 써서 $\Xi (z) := \xi \left( {{ 1 } \over { 2 }} + zi \right)$ 와 같이 정의했다1고 한다. $$ \xi ( 1 - s) = \xi (s) $$ 한편 리만 자이 함수는 $\displaystyle s = {{ 1 } \over { 2 }}$ 에 대해 대칭인데, 이는 원래 리만 자이 함수의 정의에 따르면 다음과 같이 대칭성을 더 잘 표현하기도 했다. $$ \Xi ( -z ) = \Xi ( z ) $$

증명2

Part 1.

$$ \Gamma(x) = \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt $$ 감마함수의 정의에서 $t = n^{2} \pi z$ 라 하면 $$ \begin{align*} \displaystyle \Gamma \left( x \right) =& \int_{0}^{\infty} \left( n^{2} \pi z \right)^{x-1} e^{-n^{2} \pi z} n^{2} \pi dz \\ =& n^{2} \pi \left( n^{2} \pi \right)^{x-1} \int_{0}^{\infty} z^{x-1} e^{-n^{2} \pi z} dz \end{align*} $$ 여기서 $\displaystyle x := {{ s } \over { 2 }}$ 라 두면 $$ n^{-s} \pi^{-s/2} \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) = \int_{0}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} e^{-n^{2} \pi z} dz $$ 양변에 $\sum_{n \in \mathbb{N}}$ 을 취하면 리만 제타 함수의 정의에서 $\Re(s) > 1$ 일 때 $$ \begin{align*} \zeta (s) \pi^{-s/2} \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) =& \sum_{n \in \mathbb{N}} n^{-s} \pi^{-s/2} \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) \\ =& \sum_{n \in \mathbb{N}} \int_{0}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} e^{-n^{2} \pi z} dz \\ =& \int_{0}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \sum_{n \in \mathbb{N}} e^{-n^{2} \pi z} dz \end{align*} $$


Part 2.

야코비 세타 함수의 정의와 성질: $$ \vartheta (\tau) := \sum_{n \in \mathbb{Z}} e^{-\pi n^{2} \tau } $$ 위와 같이 정의된 함수 $\vartheta$ 를 야코비 세타 함수라고 하고, 다음과 같은 성질을 갖는다. $$ \vartheta ( \tau ) = \sqrt{ {{ 1 } \over { \tau }}} \vartheta \left( {{ 1 } \over { \tau }} \right) $$

적분 구간을 $[0,1)$ 과 $[1 , \infty)$ 로 떼어내고 $[0,1)$ 에서 $\tau := {{ 1 } \over { z }}$ 과 같이 치환하면 $dz = \left| {{ 1 } \over { \tau^{2} }} \right| d \tau$ 이므로 $$ \begin{align*} \pi^{-s/2} \zeta (s) \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) =& \int_{0}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) dz \\ =& \int_{0}^{1} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) dz + \int_{1}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) \\ =& \int_{1}^{\infty} \tau^{ 1 - {{ s } \over { 2 }}} \vartheta \left( {{ 1 } \over { \tau }} \right) {{ 1 } \over { \tau^{2} }} d \tau + \int_{1}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) dz \\ =& \int_{1}^{\infty} \tau^{ -1 - {{ s } \over { 2 }}} \vartheta \left( {{ 1 } \over { \tau }} \right) d \tau + \int_{1}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) dz \\ =& \int_{1}^{\infty} \tau^{ -1 - {{ s } \over { 2 }}} \sqrt{\tau} \vartheta \left( \tau \right) d \tau + \int_{1}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) dz \\ =& \int_{1}^{\infty} \tau^{ - {{ s } \over { 2 }} - {{ 1 } \over { 2 }}} \vartheta \left( \tau \right) d \tau + \int_{1}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) dz \end{align*} $$ 적분자를 다시 $dz$ 로 통일해서 나타내보면 $$ \pi^{-s/2} \zeta (s) \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) = \int_{1}^{\infty} \left[ z^{ - {{ s } \over { 2 }} - {{ 1 } \over { 2 }}} + z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \right] \vartheta \left( z \right) dz $$


Part 3. 위 방정식에서 변수가 $s$ 가 아닌 $1-s$ 이라고 해도 $$ \begin{align*} \pi^{-(1-s)/2} \zeta (1-s) \Gamma \left( {{ 1-s } \over { 2 }} \right) =& \int_{1}^{\infty} \left[ z^{ - {{ 1-s } \over { 2 }} - {{ 1 } \over { 2 }}} + z^{{{ 1-s } \over { 2 }}-1} \right] \vartheta \left( z \right) dz \\ =& \int_{1}^{\infty} \left[ z^{{{ s } \over { 2 }}-1} + z^{ - {{ s } \over { 2 }} - {{ 1 } \over { 2 }}} \right] \vartheta \left( z \right) dz \\ =& \pi^{-s/2} \zeta (s) \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) \end{align*} $$ 양변에 $\displaystyle {{ (1-s) ((1-s)-1) } \over { 2 }} = {{ s (s-1) } \over { 2 }}$ 을 곱하면 $$ {{ (1-s) ((1-s)-1) } \over { 2 }} \pi^{-(1-s)/2} \zeta (1-s) \Gamma \left( {{ 1-s } \over { 2 }} \right) = {{ s (s-1) } \over { 2 }} \pi^{-s/2} \zeta (s) \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) $$ 이를 리만 자이 함수로 나타내면 $$ \xi ( 1 - s) = \xi (s) $$


  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_Xi_function ↩︎

  2. https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function ↩︎

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