리만-스틸체스 적분

리만-스틸체스 적분

riemann stieltjes integral

리만-스틸체스 적분Riemann-Stieltjes integral리만 적분을 일반화한 것으로 간단히 스틸체스 적분이라고도 한다. 리만 적분은 리만-스틸체스 적분에서 $\alpha(x)=x$인 특수한 경우에 해당한다.

리만-스틸체스 적분을 정의하는 과정은 리만 적분을 정의하는 과정과 같으므로 노테이션, 빌드업에 대한 구체적인 설명은 생략한다.

정의

$\alpha : [a,b] \to \mathbb{R}$를 단조증가함수라 하고, $\Delta \alpha_i=\alpha (x_i)-\alpha (x_{i-1})$라고 하자. 그러면 $\alpha$가 단조증가함수기 때문에 $\Delta \alpha_i \ge 0$이다.

유계인 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$와 $[a,b]$의 분할 $P$에 대해서 $U, L$을 아래와 같이 정의한다.

$$ \begin{align} U(P,f,\alpha) &:= \sum \limits _{i=1} ^n M_i \Delta \alpha_i \label{Udef} \\ L(P,f,\alpha) &:= \sum \limits_{i=1} ^n m_i \Delta \alpha_i \label{Ldef} \end{align} $$

$\eqref{Udef}, \eqref{Ldef}$를 각각 $[a,b]$에서 $\alpha$에 대한 $f$의 리만-스틸체스 상합, 하합upper and lower Riemann-Stieltjes sum이라 한다.

$\eqref{Udef}, \eqref{Ldef}$에 구간 $[a,b]$의 모든 임의의 분할 $P$에 대한 $\inf, \sup$을 취한 것을 각각 $[a,b]$에서 $\alpha$에 대한 $f$의 리만-스틸체스 상적분, 하적분upper and lower Riemann-Stieltjes integral이라 한다.

$$ \begin{align*} \overline {\int _a ^b} f d\alpha &:= \inf\limits_{P} U(P,f,\alpha) \\ \underline {\int _a ^b} f d\alpha &:= \sup\limits_{P} L(P,f,\alpha) \end{align*} $$

상적분과 하적분이 같으면 이를 $[a,b]$에서 $\alpha$에 대한 $f$의 리만-스틸체스 적분Riemann-Stieltjes integral이라 하고 다음과 같이 표기한다.

$$ \int _a ^b f d\alpha = \int _a^b f(x) d\alpha (x) = \overline {\int _a ^b} f d\alpha = \underline {\int _a ^b} f d\alpha $$

$f$의 스틸체스 적분이 존재하면, $f$는 $[a,b]$에서 $\alpha$에 대해 리만-스틸체스 적분가능Riemann-Stieltjes integrable하다고 하며 다음과 같이 표기한다.

$$ f \in \mathscr{R}(\alpha) = \left\{ f : f \text{ is Riemann-Stieltjes integrable} \right\} $$

댓글