역방향 민코프스키 부등식

역방향 민코프스키 부등식

Reverse Minkowski's Inequality

정리1

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$를 열린 집합, $0 \lt p \lt 1$이라고 하자. 만약 $u, v \in L^p(\Omega)$이면 $u+v \in L^p(\Omega)$이고

$$ \| \left| u \right| + \left| v \right| \|_{p} \ge \| u \|_{p} + \| v \|_{p} $$

이를 역방향 민코프스키 부등식reverse Minkowski’s inequality이라 한다.

설명

$$ \left\| u \right\|_{p} := \left( \int_{\Omega} \left| u(x) \right|^{p} dx \right)^{1/p},\quad u\in L^{p}(\Omega) $$

민코프스키 부등식은 $1 \le p \lt \infty$일 때 위와 같이 정의한 $\left\| \cdot \right\|_{p}$가 삼각 부등식을 만족하여 $L^{p}$ 공간이 된다는 것을 보여준다.

반면에 역방향 민코프스키 부등식의 경우 $0 \lt p \lt 1$일 때는 $\left\| \cdot \right\|_{p}$가 놈의 정의를 만족시키지 않아 $L^{p}$는 놈 공간이 아님을 말해준다.

증명

$u = v = 0$인 경우는 자명하게 성립하므로 적어도 $u, v$ 중 하나는 $0$이 아니라고 가정하자. $\left\| |u| + |v| \right\|_{p}^{p}$를 계산하기 위해 식을 정리해보면

$$ \begin{align*} \left\| |u| + |v| \right\|_{p}^{p} =&\ \int_{\Omega} \left( |u(x)| + |v(x)| \right)^{p} dx \\ =&\ \int_{\Omega} \left( |u(x)|+|v(x)| \right)^{p-1}\left( |u(x)|+|v(x)| \right) dx \\ =&\ \int_{\Omega} \left( |u(x)|+|v(x)| \right)^{p-1}|u(x)|dx + \int_{\Omega} \left( |u(x)|+|v(x)| \right)^{p-1}|v(x)|dx & (1) \end{align*} $$

또한 $u, v$ 둘 중 적어도 하나는 $0$이 아니라고 가정했으므로

$$ 0<\int_{\Omega} \left( \left( |u(x)|+|v(x)| \right)^{p-1}\right)^{p^{\prime}} dx $$

이때 $p^{\prime}$는 $p^{\prime} = \dfrac{p}{p-1}$로 정의되는 켤레 지수이다. 따라서 $(p-1)p^{\prime} = p$이고, $|u|, |v| \in L^{p}$이면 ${|u| + |v| \in L^{p}}$이므로

$$ \int_{\Omega} \left( \left( |u(x)|+|v(x)| \right)^{p-1}\right)^{p^{\prime}} dx = \int_{\Omega} \left( |u(x)|+|v(x)| \right)^{p} dx <\infty $$

위의 두 부등식으로부터 다음을 얻는다.

$$ 0<\int_{\Omega} \left( \left( |u(x)|+|v(x)| \right)^{p-1}\right)^{p^{\prime}}dx < \infty $$

이는 역방향 횔더 부등식이 성립하기위한 충분조건이다.

역방향 횔더 부등식

$0 < p < 1$이고 $p^{\prime} = \dfrac{p}{p-1} < 0$라고 하자. 만약 $f \in L^{p}(\Omega)$, ${fg\in L^{1}(\Omega)}$이고

$$ 0 \lt \int_{\Omega} |g(x)|^{p^{\prime}}dx \lt \infty $$

이면, 아래의 부등식이 성립한다.

$$ \int_{\Omega} |f(x)g(x)|dx \ge \left( \int_{\Omega} |f(x)|^{p} dx \right)^{1/p} \left( \int_{\Omega} |g(x)|^{p^{\prime}} dx \right) ^{1/p^{\prime}} $$

$f = u$라 두고 $g = \left( |u| + |v| \right)^{p-1}$라고 두면

$$ \begin{align*} \int_{\Omega} |u(x)| \left( \left( |u(x)|+|v(x)| \right)^{p-1} \right)dx \ge& \left\| u \right\|_{p} \left( \int_{\Omega} \left( \left( |u(x)| + |v(x)| \right)^{p-1} \right)^{p^{\prime}} dx \right)^{1/p^{\prime}} \\ =&\ \left\| u \right\|_{p} \left( \int_{\Omega} \left( |u(x)|+|v(x)| \right)^{p} dx \right)^{1/p^{\prime}} \\ =&\ \left\| u \right\|_{p} \left\| |u| + |v| \right\|_p^{p/p^{\prime}} \end{align*} $$

마찬가지로 $f = v$라 두고 $g = \left( |u| + |v| \right)^{p-1}$라고 두면

$$ \int_{\Omega} |v(x)| \left( \left( |u(x)|+|v(x)| \right)^{p-1} \right)dx \ge \left\| v \right\|_{p} \left\| |u| + |v| \right\|_p^{p/p^{\prime}} $$

위의 두 부등식을 $(1)$에 대입하면

$$ \begin{align*} \left\| |u| + |v| \right\|_{p}^{p} \ge& \left\| |u| + |v| \right\|_p^{p/p^{\prime}} \left\| u \right\|_{p} + \left\| |u| + |v| \right\|_p^{p/p^{\prime}} \left\| v \right\|_{p} \\ =&\ \left\| |u| + |v| \right\|_p^{p/p^{\prime}} (\left\| u \right\|_{p} + \left\| v \right\|_{p}) \end{align*} $$

양 변에 $\left\| |u| + |v| \right\|_p^{-p/p^{\prime}}$를 곱해주면 $p - \dfrac{p}{p^{\prime}} = 1$이므로 $$ \left\| |u| + |v| \right\|_{p} \ge \left\| u \right\|_{p} + \left\| v \right\|_{p} $$


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p28 ↩︎

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