함수의 확장과 축소

함수의 확장과 축소

Restriction and Extension of function

정의1

함수 $f : X \to Y$가 주어졌다고 하자. $U \subset X \subset V$가 성립한다고 하자.

축소사상

다음을 만족하는 $f |_{U} \to Y$를 $f$의 축소사상restriction of $f$ to U이라 한다.

$$ f|_{U} : U \to Y \quad \text{and} \quad f|_{U}(x) = f (x),\quad \forall x \in U $$

확장

다음을 만족하는 $\tilde{f} \to Y$를 $f$의 확장extension of $f$ to V이라 한다.

$$ \tilde{f} : V \to Y \quad \text{and} \quad \tilde{f}(x) = f (x),\quad \forall x \in X $$

설명

보통은 축소사상(제한이라고도 한다), 확장이라는 번역어를 쓰기 보다 발음 그대로 [리스트릭션], [익스텐젼]라고 말한다.

쉽게 말해서 함수가 생긴 모양을 그대로 둔 채 정의역을 좁히거나 늘리는 것이다.

정의에 의해서 자명하게 $f$는 $\tilde{f}$의 리스트릭션고, $f|_{U}$의 익스텐젼이다.


  1. Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications (1989), p99 ↩︎

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