감마 분포와 푸아송 분포의 관계

감마 분포와 푸아송 분포의 관계

정리

모든 자연수 $k$ 에 대해 $$ \int_{\mu}^{\infty} { { z^{k-1} e^{-z} } \over { \Gamma (k) } } dz = \sum_{x=0}^{k-1} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} } $$

이 등식은 감마 분포푸아송 분포의 누적 확률 분포 함수가 서로 관련이 있음을 보여준다. 이는 감마 분포가 지수 분포와의 관계를 가진다는 점에서 충분히 그럴법하다고 말할 수 있다.

증명

$k=1$ 일 때 $$ \int_{\mu}^{\infty} { { z^{0} e^{-z} } \over { \Gamma (0) } } dz = e^{-\mu} = \sum_{x=0}^{0} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} } $$ $k=N$일 때 $\displaystyle \int_{\mu}^{\infty} { { z^{N} e^{-z} } \over { \Gamma (N) } } dz = \sum_{x=0}^{N-1} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} }$ 이 성립한다고 가정하면 $$ \displaystyle \begin{align*} \int_{\mu}^{\infty} { { z^{N} e^{-z} } \over \Gamma (N) } dz =& \int_{\mu}^{\infty} { { z^{N} e^{-z} } \over { (N-1)! } } dz \\ =& \left[ { { z^{N} e^{-z} } \over { N! } } \right] _{\mu} ^{\infty} - \int_{\mu}^{\infty} - { { z^{N} e^{-z} } \over { N! } } dz \\ =& - { { {\mu}^{N} e^{-\mu} } \over { N! } } + \int_{\mu}^{\infty} { { z^{N} e^{-z} } \over { \Gamma (N+1) } } dz \\ =& \sum_{x=0}^{N-1} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} } \end{align*} $$ 마지막 두 줄을 다시 정리해보면 $$ \displaystyle \begin{align*} \int_{\mu}^{\infty} { { z^{N} e^{-z} } \over { \Gamma (N+1) } } dz =& { { {\mu}^{N} e^{-\mu} } \over { N! } } + \sum_{x=0}^{N-1} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} } \\ =& \sum_{x=0}^{N} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} } \end{align*} $$ 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 $k$ 에 대해 $$ \int_{\mu}^{\infty} { { z^{k-1} e^{-z} } \over { \Gamma (k) } } dz = \sum_{x=0}^{k-1} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} } $$

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