감마 분포와 지수 분포의 관계

감마 분포와 지수 분포의 관계

Relationship between gamma and exponential

정리

$$ \Gamma \left(1, { 1 \over \lambda } \right) \iff \text{exp} (\lambda) $$

설명

지수 분포의 직관적인 정의를 생각해보면 어떤 사건이 일어날때까지 걸리는 시간에 관심이 있는 것이다. 이산 확률 분포로 따지자면 기하 분포가 이에 해당한다.

이때 기하 분포를 사건의 ‘발생 횟수’에 대해 일반화한 것이 음이항 분포다. 이런 센스에서, 지수 분포를 일반화한 것은 감마 분포라고 할 수 있을 것이다. 이때 ‘발생 횟수’는 감마분포 $\displaystyle \Gamma \left( k, { 1 \over \lambda } \right)$ 에서 $k$ 에 해당되는데, 감마 분포의 모수 $k$ 는 딱히 정수여야할 이유가 없기 때문에 완전히 동치로 생각해선 곤란하다.

감마 분포에서는 지수 분포의 모수 $\lambda$ 가 아니라 $\displaystyle { 1 \over \lambda }$ 를 취한다는 것에도 주목하자. 너무 어렵게 생각하진 말고, 그냥 이런 식으로 생각할 수 있다는 것만 알아두면 충분할 것이다.

증명

전략: 두 분포의 적률생성함수가 같은 형태로 나타날 수 있음을 보인다.


지수 분포 $\text{exp} (\lambda)$ 의 적률 생성 함수는 $\displaystyle m_{1}(t) := (1- {t \over \lambda})^{-1}$ 이고 감마 분포 $\Gamma(k, \theta)$ 의 적률 생성 함수는 $\displaystyle m_{2}(t) := (1-\theta t)^{-k}$ 이다. 감마분포의 적률생성함수에 $ k = 1$ 과 $\displaystyle \theta = { 1 \over \lambda }$ 을 대입하면 $$ m_{2}(t) = (1 - \theta t)^{-k} = (1- {t \over \lambda})^{-1} =m_{1}(t) $$

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