감마 분포와 카이제곱 분포의 관계

감마 분포와 카이제곱 분포의 관계

정리

$$ \Gamma \left( { r \over 2 } , 2 \right) \iff \chi ^2 (r) $$

설명

감마 분포카이제곱 분포는 위와 같은 성질을 가진다.

증명

전략: 두 분포의 적률생성함수가 같은 형태로 나타날 수 있음을 보인다.


카이제곱분포 $\chi ^2 (r)$ 의 적률생성함수는 $\displaystyle m_{1}(t) = (1- 2t)^{- {r \over 2} }$ 이고 감마분포 $\Gamma(k, \theta)$ 의 적률생성함수는 $m_{2}(t) = (1-\theta t)^{-k}$ 이다. 감마분포의 적률생성함수에 $\displaystyle k = {r \over 2}$ 과 $\theta = 2$ 을 대입하면 $$ \displaystyle m_{2}(t) = (1-\theta t)^{-k} = (1- 2t)^{- {r \over 2} } =m_{1}(t) $$

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