절대 연속과 적분 가능한 함수의 관계 📂측도론

절대 연속과 적분 가능한 함수의 관계

relationship between absolutely continuity and integral functions

빌드업

아래와 같은 명제를 생각해보자.

가측 공간 $(X,\mathcal{E})$위의 측도 $\mu$와 $\mu-$적분가능한 함수 $f$가 주어졌다고 하자. 그러면 $f$에 디펜드하는 $\nu \ll\mu$인 $\nu$가 존재한다.

이를 보이는 것은 증명이랄 것도 없다. $\nu$를 아래와 같이 정의하면 $\nu \ll\mu$이기 때문에 위 조건을 만족하는 $\nu$가 존재한다는 것을 알 수 있다.

$$ \nu (E):=\int_E f d\mu,\quad E \in \mathcal{E} $$

설명

이제 반대의 상황을 생각해보자. $ \nu \ll \mu$를 만족하는 두 측도 $\nu$, $\mu$가 주어졌다고 하자. 그러면 ‘아래의 식이 성립하는 $\mu-$적분가능한 함수 $f$가 존재할까?' 라는 질문을 할 수 있다.

$$ \begin{equation} \nu (E) = \int_E f d\mu \label{eq1} \end{equation} $$

정답은 ‘존재한다’이고 이는 라돈-니코딤 정리로 알 수 있다. 이러한 $f$가 존재함은 확률론에서 조건부 기댓값의 존재성을 보장하므로, 라돈-니코딤 정리가 큰 의미를 갖는다고 할 수 있다.

라돈-니코딤 정리를 부호 측도에 대해서 일반화한 것을 르벡-라돈-니코딤 정리라 한다. 라돈-니코딤 정리는 르벡-라돈-니코딤 정리에서 $\lambda=0$인 특별한 경우를 말한다. 한편 $\eqref{eq1}$을 간단하게 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$ d\nu=fd \mu $$

이렇게 나타내는 이유는 양변을 $E \in \mathcal{E}$에 대해서 적분을 취해보면 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

$$ \begin{align*} && \int_E d \nu &= \int_E f d\mu \\ \implies && \int_E d\nu &= \nu(E) = \int _E f d\mu \end{align*} $$

따라서 $\lambda (E) = \nu (E) \displaystyle - \int_E f d\mu$는 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$ d \lambda = d\nu -fd\mu $$

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