📂거리공간

거리공간에서 컴팩트 집합과 닫힌 집합의 관계

relation between compact set and closed set in metric space

정리1¹

거리공간 $(X,d)$의 컴팩트 부분 집합 $K$는 닫힌 집합이다.

증명

$K$를 거리공간 $X$의 컴팩트 부분 집합이라고 하자. 여기서 $K^{c}$가 열려있음을 보이면, 열린 집합의 여집합은 닫힌 집합이므로, $K$는 닫힌 집합이다. $K^{c}$가 오픈인 것은 보이려면 $K^{c}$의 모든 점이 내점임을 보이면 된다. 이제 $p \in K^{c}$라고 하자. 그리고 $q\in K$에 대해서 $V_{q}$와 $W_{q}$를 각각 반경이 ${\textstyle \frac{1}{2}}d(p,q)$보다 작은 $p$와 $q$의 근방이라고 하자. $V$는 $p$의 근방인데 인덱스로 $q$를 쓰는 이유는 고정된 $p\in K^{c}$에 대해서 임의의 $q\in K$가 주어질 때 마다 $q$와의 거리에 따라 정해지는 $p$의 반경이기 때문이다. 글로 이해가 잘되지 안된다면 아래 그림을 보자.

이제 $\left\{ W_{q} \right\}_{q\in K}$를 생각해보자. 이는 $K$의 오픈 커버가 된다. 가정에 의해 $K$가 컴팩트이므로 아래의 식을 만족하는 어떤 $q_{1},\cdots,q_{n}$이 존재한다.

$$ K \subset W_{q_{1}}\cup \cdots \cup W_{q_{n}}=W $$

그리고 $V=V_{q_{1}}\cap \cdots \cap V_{q_{n}}$라고 두자. 그러면 $V$는 여전히 $p$의 근방이다. 또한 처음 $V_{q}$, $W_{q}$를 잡아올 때 거리를 잘 뒀기 때문에 $V\cap W=\varnothing$이라는 것을 알 수 있다. 그러면 $W$는 $K$의 오픈 커버이기 때문에 다음이 성립한다.

$$ V \subset K^{c} $$

임의의 $p\in K^{c}$에 가 항상 $K^{c}$에 포함되는 근방을 가지고 있기 때문에 모든 $p \in K^{c}$는 $K^{c}$의 내점이다. 따라서 $K^{c}$는 열린 집합이고, $K$는 닫힌 집합이다.

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정리2²

증명

거리공간 $X$에 대해서 $F\subset K \subset X$이고, $F$는 $X$에서 닫힌 집합, $K$는 컴팩트 집합이라고 가정하자. 그리고 $\left\{ V_{\alpha}\right\}$를 $F$의 임의의 오픈 커버라고 하자. 여기에 $F^{c}$를 추가하여 $\Omega=\left\{ V_\alpha \right\}\cup \left\{ F^{c} \right\}$라고 하자. 그러면 $\Omega$는 $K$의 오픈 커버가 된다. $K$는 컴팩트라고 가정했으므로, $\Omega$의 어떤 유한 부분 커버 $\Phi$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ F \subset K\subset \Phi $$

여기서 두 경우로 나누어보자.

• case 1. $F^{c} \notin \Phi$

  그러면 $\Phi$는 $\left\{ V_{\alpha} \right\}$의 유한 부분 커버이므로 $F$는 컴팩트이다.

• case 2. $F^{c} \in \Phi$

  $\Psi=\Omega \setminus \left\{ F^{c} \right\}$라고 두면 $F^{c}\cap F=\varnothing$이므로 여전히 $F\subset \Psi$이다. 그러면 $\Psi$는 $\left\{ V_{\alpha} \right\}$의 유한 부분 집합이므로 $F$는 컴팩트이다.

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따름정리

거리공간 $X$에서 $F$가 닫혀있고 $K$가 컴팩트라고 하자. 그러면 $F\cap K$는 컴팩트이다.

증명

$F \cap K$는 닫힌 집합의 교집합이므로 닫힌 집합이다. 그러면 컴팩트 집합 $K$의 닫힌 부분집합이므로 컴팩트이다.

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