B-스플라인의 정칙성

B-스플라인의 정칙성

regularity of b splines

정리1

$m=2,3,\dots$에 대해서, B-스플라인 $N_{m}$은 다음의 성질을 가진다.

(a) $N_{m}\in C^{m-2}(\mathbb{R})$

(b) $k\in \mathbb{Z}$에 대해, 각각의 구간 $[k,k+1]$에서 $N_{m}$은 차수가 아무리 커봐야 $m-1$인 다항식이다.

B-스플라인의 익스플리시트 공식

$$ N_{m}(x) = \frac{1}{(m-1)!}\sum \limits_{j=0}^{m} \left( -1 \right)^{j}\binom{m}{j}\left( x-j \right)_{+}^{m-1},\quad x\in \mathbb{R} $$

이때

$$ f(x)_{+}:=\max \left( 0,f(x) \right) \quad \& \quad f(x)_{+}^{n}:=\left( f(x)_{+} \right)^{n} $$

보조정리

$m=2,3,\cdots$에 대해서 $x_{+}^{m-1}$은 $m-2$번까지 미분 가능하고, $m-2$번째 도함수가 연속이다.

증명

$m=2$에 대해서,

$$ x_{+}^{1}=\max(0,x)=\begin{cases} 0 & \text{if}\ x\le0 \\ x & \text{if}\ x\ge0 \end{cases} $$

이므로 모든 점에서 연속이고, $x=0$을 제외하고 미분 가능하다.$m=3$에 대해서,

$$ x_{+}^{2}=\left( \max(0,x) \right)^{2}=\begin{cases} 0 & \text{if}\ x\le0 \\ x^{2} & \text{if}\ x\ge0 \end{cases} $$

이므로 모든 점에서 한 번 미분 가능하다. 도함수는 $2x_{+}^{1}$이므로 모든 점에서 연속이고, $x=0$을 제외한 곳에서 미분 가능하다.

증명

(a)

B-스플라인의 익스플리시트 공식에 의해 $N_{m}$은 $x_{+}^{m-1}$의 평행이동들의 선형 결합임을 알 수 있다. 따라서 아래의 보조정리에 $N_{m}$은 $m-2$번 미분 가능하고, 각각의 도함수들이 연속이다.

(b)

각각의 $j=0,1,\dots,m$에 대해서 아래의 식이 성립한다.

$$ (x-j)_{+}^{m-1}=\left( \max \left( 0,x-j \right) \right)^{m-1}=\begin{cases} 0 &\text{if}\ x\le j \\ (x-j)^{m-1}& \text{if}\ x>j \end{cases} $$

$N_{m}$은 이러한 함수들의 선형결합이므로 자명하게 성립한다.


  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p208 ↩︎

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