레귤러 마틴게일과 클로저블 마틴게일

레귤러 마틴게일과 클로저블 마틴게일

Regular martingale and closable

정의

확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 와 마틴게일 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 이 주어져 있다고 하자.

  1. 만약 어떤 적분가능확률 변수 $\eta$ 에 대해 $X_{n} = E ( \eta | \mathcal{F}_{n} )$ 이면 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 을 레귤러 마틴게일이라 한다.
  2. 만약 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ): n = 1 , \cdots , \infty \right\}$ 이 마틴게일이 되도록 하는 어떤 적분가능확률 변수 $X_{\infty}$ 이 존재하고 $\mathcal{F}_{\infty}$-가측이면 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 을 클로저블 마틴게일이라 한다.

  • $\displaystyle \mathcal{F}_{\infty} = \bigotimes_{n=1}^{\infty} \mathcal{F}_{n}$ 는 텐서 곱이 아니라 모든 필트레이션 $\mathcal{F}_{n}$ 들의 모든 원소들을 포함하면서 가장 작은 시그마 필드를 의미한다. 그다지 새로울 것은 없는 게, 사실 위상 공간 $\Omega$ 의 모든 열린 집합을 포함하면서 가장 작은 시그마 필드를 보렐 시그마 필드라고 해왔다. 그래도 어렵다면 그냥 필트레이션의 조건을 만족하는 시그마 필드로 받아들여도 무방하다.

설명

  1. $m > n$ 에 대해 $E \left( E ( \eta | \mathcal{F}_{m} ) | \mathcal{F}_{n} \right)$ $\eta$ 을 생각해보면, $\eta$ 는 $\mathcal{F}_{n}$-가측이고 $\mathcal{F}_{n} \subset \mathcal{F}_{m}$ 이므로 스무딩 프로퍼티에 대해 $E \left( \eta E ( 1 | \mathcal{F}_{m} ) | \mathcal{F}_{n} \right) = E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right) = X_{n}$ 이 되므로 레귤러 마틴게일은 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 은 여전히 마틴게일임을 확인할 수 있다. 여기서 $m$ 은 $n+1$ 이 아니라 $n$ 보다 큰 모든 정수임에 주목하라.
  2. $n = 1 , \cdots , \infty$ 라는 것은 무한을 다룰 때 늘 그렇듯 간단해보이지만 그렇게까지 쉽지 않다. 어떤 $\mathcal{F}_{\infty}$-가측 확률 변수인 $X_{\infty}$ 가 존재해서 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}_{n \in \overline{\mathbb{N}}}$ 가 마틴게일이 된다는 것을 확인한다는 것은 곧 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) = X_{n}$ 임을 확인하는 것이다.

한편 다음 따라 마틴게일이 레귤러인 것과 클로저블인 것은 필요충분조건이다. 쓸만한 성질이 많아보이는 것은 클로저블 마틴게일이고, 어떤 $\eta$ 를 제시해서 만들기 쉬운 것은 레귤러인데 이 둘이 동치라는 것은 상당히 좋은 일임을 어렵지 않게 짐작할 수 있다.

정리

  • [1]: 레귤러 마틴게일이면 균등적분가능 마틴게일이다.
  • [2]: 균등적분가능 마틴게일이면 L1 수렴 마틴게일이다.
  • [3]: L1 수렴 마틴게일이면 클로저블 마틴게일이다.
  • [4]: 클로저블 마틴게일이면 레귤러 마틴게일이다.

증명

[1]

[2]

[3]

[4]

$\eta:= X_{\infty}$ 라고 두면 $X_{n} = E ( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} )$ 이므로 클로저블 마틴게일이다.

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