미분기하에서 곡면의 영역과 경계

미분기하에서 곡면의 영역과 경계

Region and Boundary in Differential Geometry

정의1

  • 곡면 $M$의 부분집합 $\mathscr{R}$을 생각하자. $\mathscr{R}$이 열린집합이고, $\mathscr{R}$의 임의의 두 점을 포함하는 $\mathscr{R}$ 위의 곡선이 존재하면, $\mathscr{R}$을 $M$의 영역region이라 한다.

  • $M$의 영역 $\mathscr{R}$에 대해서, 다음의 집합을 $\mathscr{R}$의 경계boundary라고 한다.

    $$ \partial \mathscr{R} = \left\{ p \in \mathscr{R} : \exists \left\{ p_{j} \right\} \subset \mathscr{R}, \lim\limits_{j \to \infty} p_{j} = p \right\} $$

  • $\mathscr{R}$을 곡면 $M$의 영역이라고 하자. 만약 $\overline{\mathscr{R}} = \left\{ p \in S | \exists p_{j} \in S \text{s.t. } \lim\limits_{j \to \infty} = p \right\}$가 컴팩트이고, $\partial R$이 finite union of simple closed piecewise regular curves without intersection이면 $\mathscr{R}$을 정칙 영역regular region이라 한다.

  • 만약 $\mathscr{R} \approxeq \text{disc}$ homeomorphic $\exists f : R \to \text{disc}$ 연속, 바이젝티브, 인벌스도 연속 and $\partial R$ is the trace of a simple closed piecewise regular curve이면, $\mathscr{R}$을 단순 영역simple region이라 한다.


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p180-181 ↩︎

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