📂기하학

미분기하에서 곡면의 리젼과 리젼의 경계

Region and Boundary in Differential Geometry

리젼¹

곡면 $M$의 부분집합 $\mathscr{R}$을 생각하자. $\mathscr{R}$이 열린집합이고, $\mathscr{R}$의 어떠한 두 점에 대해서도 이들을 포함하는 $\mathscr{R}$ 위의 곡선이 존재하면, $\mathscr{R}$을 $M$의 리젼^region이라 한다.

경계

곡면 $M$의 리젼 $\mathscr{R}$에 대해서, 다음의 집합 $\partial \mathscr{R}$을 $\mathscr{R}$의 경계^boundary라고 한다.

$$ \partial \mathscr{R} = \left\{ p \notin \mathscr{R} : \exists \left\{ p_{j} \right\} \subset \mathscr{R} \text{ such that } \lim\limits_{j \to \infty} p_{j} = p \right\} $$

리젼을 둘러싸는 곡선

곡선 $\boldsymbol{\gamma}$의 이미지가 리젼 $\mathscr{R}$의 경계이고, $\boldsymbol{\gamma}$의 내재적 법선 $\mathbf{S}$가 $\mathscr{R}$의 안쪽을 향하면서 $-\mathbf{S}$가 바깥쪽을 향할 때 $\boldsymbol{\gamma}$가 리젼 $\mathscr{R}$을 둘러싼다^{A curve $\boldsymbol{\gamma}$ bounds a region $\mathscr{R}$}고 한다.

설명

$\mathbf{S}$가 리젼 안쪽을 향해야한다는 것은 곡선이 반시계 방향으로 회전해야함을 의미한다. 예로 곡면 $M = \mathbb{R}^{2}$에 대해서, $\mathscr{R} = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} : x^{2} + y^{2} \lt 1 \right\}$은 $M$의 리젼이다. 또한 곡선 $\boldsymbol{\alpha}(\theta) = (\cos \theta, \sin \theta)$는 $\mathscr{R}$의 경계이다.

반면에 곡면 $M$을 아래의 오른쪽 그림과 같은 토러스 $T^{2}$라고 하자. $\boldsymbol{\gamma}$의 이미지를 제외한 모든 점을 리젼 $\mathscr{R}$이라 하면, $\mathscr{R}$의 경계는 $\boldsymbol{\gamma}$의 이미지가 된다. 하지만 곡선 $\boldsymbol{\gamma}$의 $-\mathbf{S}$가 $\mathscr{R}$의 바깥쪽이 아닌 안쪽을 향하므로 $\boldsymbol{\gamma}$는 $\mathscr{R}$을 둘러싸지 않는다.