벡터 공간의 리플렉시브

벡터 공간의 리플렉시브

정의 1

$X$를 벡터공간, $X^{\ast \ast}$를 바이듀얼이라고 하자. $X^{\ast \ast} \approx X$면, $X$가 리플렉시브reflexive라고 한다.

설명

일반적으로 벡터 공간은 듀얼을 취할때마다 점점 그 크기가 더 커진다. 그런데 리플렉시브라는 말은 사실상 듀얼 스페이스가 계속해서 커지지 않는 공간이라고 보아도 좋다. 리플렉시브한 공간에는 다음의 예시가 있다.

$\ell^{p}$ 공간에 대한 증명을 소개한다.

증명

전략: 이 증명에서만 쓰이는 함수 $\text{sign} : \mathbb{C} \to \mathbb{R}$ 을 정의하자. $$ \text{sign} ( \lambda ) := \begin{cases} \displaystyle {{| \lambda | } \over { \lambda }} &, \lambda \ne 0 \\ 1 &, \lambda = 0 \end{cases} $$ 정의에 따라 $\lambda \text{sign} (\lambda) = | \lambda |$ 이다. 이는 널리 쓰이는 복소수의 부호 $\text{sign}$의 정의와 조금 다른 것에 주의하라.


우선은 $\displaystyle {{1} \over {p}} + {{1} \over {q}} = 1$ 에 대해 ${\ell^{p}}^{ \ast } \approx \ell^{q}$ 임을 보일 것이다. 사상 $\phi : {\ell^{p}}^{ \ast } \to \ell^{q}$ 를 $f \in {\ell^{p}}^{ \ast }$ 에 대해 $\phi (f) = \left( f(e_{1}) , f(e_{2}) , \dots \right)$ 이라고 정의하자. 여기서 $e_{j}$ 는 $j$ 번째 성분만 $1$ 이고 나머지는 $0$ 인 단위벡터 $e_{j}:=(\dots ,0, 1 , 0 , \dots )$ 를 의미한다.

이제 이 포함된 $\displaystyle y_{j} : = {{ \text{sign} \left( f^q (e_{j} ) \right) f^{q-1} (e_{j} ) } \over { \left( \sum_{j=1}^{n} \left| f (e_{j} ) \right|^{q} \right)^{{{1} \over {p}}} }} \in \mathbb{C}$ 을 정의하자. 모든 $\lambda \in \mathbb{C}$ 에 대해 $|\lambda| = 1$ 이므로

$$ \| y_{1} e_{1} + \dots + y_{n} e_{n} \|_{p}^{p} = \sum_{j=1}^{n} |y_{j}|^{p} = \sum_{j=1}^{n} {{ 1 \cdot \left| f (e_{j} ) \right|^{(q-1)p} } \over { \left( \sum_{j=1}^{n} \left| f (e_{j} ) \right|^{q} \right) }} $$

$(q-1)p = q$ 이므로

$$ \| y_{1} e_{1} + \dots + y_{n} e_{n} \|_{p}^{p} = 1 $$

$f \in \ell_{p}^{ \ast }$는 선형이므로

$$ \begin{align*} & f( y_{1} e_{1} + \dots + y_{n} e_{n} ) \\ =& y_{1} f( e_{1} ) + \dots + y_{n} f(e_{n}) \\ =& {{ 1 } \over { \left( \sum_{j=1}^{n} \left| f (e_{j} ) \right|^{q} \right)^{{{1} \over {p}}} }} \left( \text{sign} \left( f^q (e_{1} ) \right) f^{q-1} (e_{1} ) f(e_{1}) + \dots +\text{sign} \left( f^q (e_{n} ) \right) f^{q-1} (e_{n} ) f(e_{n}) \right) \\ =& {{ 1 } \over { \left( \sum_{j=1}^{n} \left| f (e_{j} ) \right|^{q} \right)^{{{1} \over {p}}} }} \left( \text{sign} \left( f^q (e_{1} ) \right) f^{q} (e_{1} )+ \dots +\text{sign} \left( f^q (e_{n} ) \right) f^{q} (e_{n} ) \right) \end{align*} $$

$$\lambda \text{sign} (\lambda) = | \lambda |$$

$\text{sign}$ 의 성질에 따라

$$ \begin{align*} f( y_{1} e_{1} + \dots + y_{n} e_{n} ) =& {{ 1 } \over { \left( \sum_{j=1}^{n} \left| f (e_{j} ) \right|^{q} \right)^{{{1} \over {p}}} }} \left( \left| f (e_{1}) \right|^{q} + \dots + \left| f (e_{n}) \right|^{q} \right) \\ =& \left( \sum_{j=1}^{n} \left| f(e_{j} ) \right|^{q} \right)^{1- {{1} \over {p}} } \\ =& \left( \sum_{j=1}^{n} \left| f(e_{j} ) \right|^{q} \right)^{ {{1} \over {q}} } \end{align*} $$


  1. Kreyszig. (1989). Introductory Functional Analysis with Applications: p107. ↩︎

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