파동함수의 반사와 투과
reflection and transmission of wave function
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에너지가 $E$인 입자가 에너지보다 포텐셜 장벽을 만났을 때 반사 및 투과가 일어난다. 고전적인 관점에서 보면 입자는 투과하지 않고 오로지 반사만 일어난다. 하지만 미시 세계에서는 입자의 파동성 때문에 확률적으로 투과가 일어난다. 이를 양자 터널링$(\mathrm{tunneling})$ 혹은 터널 효과$(\mathrm{tunnel\ effect})$이라 부른다. 이때 반사하는 비율과 투과하는 비율이 입사파, 반사파, 투과파의 확률 흐름의 비율로 나타난다는 것이다.플럭스$(\mathrm{flux}$, 선속$)$어떤 물리량이 단위 시간동안 어느 지점을 지나간 양을 플럭스라고 한다. 따라서 파동 함수가 반사 및 투과를 할 때 그 비율을 알고 싶다면 입사파의 플럭스에 대한 반사파, 투과파의 플럭스의 비율을 확인해보면 된다. 즉, ‘반사율=(반사파의 플럭스)/(입사파의 플럭스)’, ‘투과율=(투과파의 플럭스)/(입사파의 플럭스)‘로 나타낼 수 있다. 그런데 양자역학에서 입자의 파동 함수란 입자가 발견될 확률을 의미하는데 확률의 흐름을 나타내는 물리량으로 확률 흐름 밀도 $j(x,t)$가 있다. 실제로 $j(x,t)$가 파동 함수의 플럭스를 나타냄을 확인할 수 있다.어떤 파동함수 $\psi=A e^{ikx}$가 주어졌다고 하자. 그러면 구간 $\Delta x$를 통과하는 파동 함수는 $|\psi|^2 \Delta x =|\psi \psi^{\ast}| \Delta x=P\Delta x$로 나타낼 수 있다. $\psi$가 아니라 $|\psi|^2$인 이유는 우리가 다루는 물리량은 실수이기 때문이다. 파동 함수 $\psi$는 복소 함수이기 때문에 실수값을 나타내기 위해 $|\psi \psi^{\ast}|$로 나타낸다. 이때 $P=|\psi \psi^{\ast}|=|Ae^{ikx} A^{\ast}e^{-ikx}|=|AA^{\ast}|=|A|^2$이다. 그러면 플럭스는 단위 시간동안 흐르는 양이므로 $\psi$의 플럭스는 $$ F=|A|^2\dfrac{\Delta x}{\Delta t} $$ 아주 짧은 시간에 대해서 생각하면 $\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=v$이다. 양자역학에서는 속도가 아니라 운동량을 다루므로 $v=\frac{p}{m}$이고 양자 역학에서의 운동량은 $p=\hbar k$이므로 $$ F=|A|^2\frac{\hbar k}{m} $$ 이때 $\psi$의 확률 흐름을 계산하면 정확하게 위의 값과 같음을 알 수 있다. $$ \begin{align*} j =&\ \frac{\hbar }{2mi}\left( \psi* \frac{\partial \psi}{\partial x} -\psi\frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial x} \right) \\ =&\ \frac{\hbar}{2mi}\left( A^{\ast}e^{-ikx}(ik)Ae^{ikx}-Ae^{ikx}(-ik)A^{\ast}e^{-ikx}\right) \\ =&\ \frac{\hbar}{2mi} \left( ikAA^{\ast}+ikAA^{\ast}\right) \\ =&\ \frac{\hbar k}{m}|A|^2 \end{align*} $$ 따라서 입사파의 확률흐름과 반사파의 확률흐름의 비율이 반사율을, 입사파의 확률흐름과 투과파의 확률흐름의 비가 투과율을 나타낸다.만약 파동함수가 다음과 같이 실수 함수로 주어졌다고 하자. $$ u=Ae^{kx} $$ 그러면 파동의 확률 흐름 $j$는 $0$이다. $$ \begin{align*} j =&\ \frac{\hbar }{2mi}\left( u^{\ast} \frac{\partial u}{\partial x} -u\frac{\partial u^{\ast}}{\partial x} \right) \\ =&\ \frac{\hbar }{2mi}\left( u \frac{\partial u}{\partial x} -u\frac{\partial u}{\partial x} \right) \\ =&\ 0 \end{align*} $$