길이를 잴 수 있는 곡선

길이를 잴 수 있는 곡선

rectifiable curves

정의1

  • 연속 함수 $\gamma : [a,b] \to \mathbb{R}^{k}$를 $\mathbb{R}^{k}$에서의 곡선curve 혹은 간단히 $[a,b]$위의 곡선이라고 한다.

  • 만약 곡선 $\gamma$가 일대일 함수이면 arc라고 한다

  • 만약 $\gamma(a)=\gamma(b)$이면 $\gamma$를 닫힌 곡선closed curve이라고 한다.

설명

주목해야할 점은 곡선을 점들의 집합이 아닌 사상으로 정의한 것이다.

이제 구간 $[a,b]$의 분할 $P=\left\{ x_{0},\dots,x_{n} \right\}$와 곡선 $\gamma$에 대해서 $\Lambda$를 아래와 같이 정의하자.

$$ \Lambda (P,\gamma) = \sum \limits _{i=1} ^{n} \left| \gamma(x_{i})-\gamma(x_{i-1}) \right| $$

우변의 $i$번째 항은 두 점 $\gamma(x_{i-1}), \gamma(x_{i})$사이의 거리를 의미한다. 즉 $\Lambda(P,\gamma)$는 점 $\gamma(x_{0}),\dots,\gamma(x_{n})$들을 이은 꺽은 선의 길이와 같다. 분할을 세분화할 수록 $\Lambda(P,\gamma)$는 $\gamma$의 실제 길이와 점점 더 가까워질 것이다. 이러한 센스로 곡선 $\gamma$의 길이length $\Lambda(\gamma)$를 다음과 같이 정의한다.

$$ \Lambda(\gamma)=\sup \limits_{\forall P}\Lambda(P,\gamma) $$

만약 $\Lambda(\gamma) <\infty$이면 $\gamma$를 길이를 잴 수 있는rectifiable 곡선이라고 한다.


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p136 ↩︎

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