원통 좌표계의 변수로 r, 세타를 쓰면 안되는 이유

원통 좌표계의 변수로 r, 세타를 쓰면 안되는 이유

reason not to use rtheta as a variable in the cylindrical coordinate system

극좌표계와 원통좌표계의 차이

원통 좌표계는 아래와 같이 3차원 공간의 점을 $(\rho,\phi,z)$로 표현하는 좌표계를 말한다.

14.PNG

그런데 원통 좌표계를 $(r,\theta, z)$와 같이 표기한 것을 볼 수 있다. 극좌표계 $(r,\theta)$에서 높이 $z$가 추가되었으니 $(r,\theta, z)$와 같이 표기한 것으로 보인다. 하지만 이렇게 표기하는 것은 각 기호가 가지는 의미의 통일성을 해친다. 우선 공간 좌표계에서 $r$이라는 변수는 원점에서 해당 좌표까지의 직선 거리 를 의미한다. 그래서 위치 벡터position vector

$$ \mathbf{r}=r \hat{\mathbf{r}} $$

으로 표기하는 것이다. 극좌표나 구좌표는 그림에 나와있는 것과 같이 실제로 $r$이 원점과 좌표사이의 직선 거리를 나타내지만 원통 좌표계에서는 그렇지 않다.

16.PNG

원통 좌표계에서는 위치 벡터 $\mathbf{r}$을 $xy-$평면에 사영하여 얻은 길이를 첫번째 변수로 쓴다. 따라서 $\rho$ 혹은 $s$로 표기해야 옳다. 마찬가지로 $\theta$는 위치 벡터 $\mathbf{r}$과 좌표축까지의 각도이다. 따라서 극 좌표계와 구 좌표계의 두번째 변수는 $\theta$로 표기하는 것이 맞다. 그런데 원통 좌표계에서 두번째 변수는 위치 벡터와 좌표축까지의 각도가 아니라 위치벡터를 $xy-$평면에 사영한 벡터와 좌표축까지의 각도이다. 따라서 $\theta$로 표기하는 것은 옳지 않고 $\phi$로 표기해야한다. 원통 좌표계를 $(\rho, \phi, z)$로 표기해야 좌표계가 바뀌어도 각 문자가 가지는 의미의 일관성을 지킬 수 있다.

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