선형변환의 랭크, 무효차수, 차원정리

선형변환의 랭크, 무효차수, 차원정리

Rank, Nullity, Dimension Theorem for Linear Transformaions

정의1

$T : V \to W$를 선형변환이라 하자.

  • $T$의 치역 $R(T)$가 유한차원이면, $R(T)$의 차원을 $T$의 랭크rank라고 하고 다음과 같이 표기한다.

    $$ \mathrm{rank}(T) := \dim (R(T)) $$

  • $T$의 영공간 $N(T)$가 유한차원이면, $N(T)$의 차원을 $T$의 무효차수nullity라고 하고 다음과 같이 표기한다.

    $$ \mathrm{nullity}(T) := \dim\left( N(T) \right) $$

설명

행렬의 랭크, 무효차수를 일반화한 것이다. 실제로 $V, W$가 유한차원이면 $T$는 사실상 행렬과 같고, $N(T)$는 $T$를 나타내는 행렬 $M_{T}$의 영공간이다. 행렬의 무효차수는 영공간의 차원이므로 다음이 성립한다.

$$ \mathrm{nullity}(T) = \dim\left( N(T) \right) = \dim (\mathcal{N}(M_{T})) $$

행렬의 차원정리를 선형변환에 대해서 일반화하면 다음과 같다.

정리

$T : V \to W$가 선형변환이고, $V$가 유한차원이면 다음이 성립한다.

$$ \mathrm{rank}(T) + \mathrm{nullity}(T) = \dim (V) $$


  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019), p455-456 ↩︎

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