램프 함수 📂함수

램프 함수

Ramp Function(Filter, Signal)

정의

다음의 함수를 램프 함수ramp function라 한다.

$$ R(x) := \begin{cases} x & x \gt 0 \\ 0 & x \le 0 \end{cases} $$

ramp_function.png

여러가지 정의 방법1

다음과 같이 여러가지 방법으로 정의될 수 있다.

$$ \begin{align*} R(x) &:= \begin{cases} x & x \gt 0 \\ 0 & x \le 0 \end{cases} \\[1em] &= \max \left\{ 0, x \right\} \\[1em] &= x H(x) \\[1em] &= \dfrac{x + \left| x \right|}{2} \\[1em] &= H(x) \ast H(x) \\[1em] &= \int_{-\infty}^{x} H(\xi) d\xi \end{align*} $$

$H(x)$는 단위 계단 함수, $\ast$는 컨볼루션을 의미한다.

설명

요정이 사는 램프lamp가 아니라, 경사로ramp를 의미한다. 함수의 그래프가 경사로처럼 생겼기 때문이다.

전기전자공학, 신호처리에서 주로 쓰이는 함수로 램프 필터, 램프 신호 등의 이름으로 불린다. 머신러닝에서는 ReLUrectified linear unit, 렐루라 부른다. 본 문서에서는 램프 함수 그 자체에 대해 설명하고, 활성화함수로서의 의미는 ReLU 문서에서 설명한다.

성질

램프함수의 도함수는 단위계단함수이다. 단위계단함수의 도함수는 디랙 델타함수이므로, 램프함수의 이계도함수는 델타함수이다.

$$ R^{\prime}(x) = H(x) \quad \text{and} \quad R^{\prime \prime}(x) = H^{\prime}(x) = \delta(x) $$

[푸리에 변환]

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