라마누잔 합

라마누잔 합

Ramanujan summation

정의

발산하는 급수에 값을 매기는 것을 라마누잔 합이라 하고, 심볼 $\Re$ 을 통해 나타낸다.

정리

  • [1] 그란디 급수Grandi Series** 1: $$ 1-1+1-1+ \cdots = {{ 1 } \over { 2 }} \qquad ( \text{Re} ) $$
  • [2] $$ 1-2+3-4+ \cdots = {{ 1 } \over { 4 }} \qquad ( \text{Re} ) $$
  • [2]’ $$ 1+2+3+4+ \cdots = - {{ 1 } \over { 12 }} \qquad ( \text{Re} ) $$

설명

값이 존재하지 않으니 발산하지 거기다 값을 매긴다는 게 무슨 말인가 싶을 것이다. 우선은 수렴하지 않지만 ‘수렴한다 치고’ 형식적으로 계산한 결과라고 보아도 좋다. 생각지도 못하게 물리학 등의 분야에서 응용되곤 한다지만 정확히 이해하지도 못하면서 굳이 찾아가며 설명할 필요성을 느끼지 못해 단순히 직관적인(엄밀하지 못한) 증명만 소개한다. 사실 증명만 보아도 재미있는데, 독자 여러분 역시 그냥 흥미본위로만 읽어보고 너무 진지하게 받아들이진 않길 바란다.

특히 정리 [2]‘의 경우에는 별도의 포스트에서 디리클레 급수 $\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ a_{n} } \over { n^{s} }}$ 의 해석적 연속리만 제타 함수로 보다 엄밀한 증명을 소개했다. 그러한 독자가 엄밀한 증명까지 이해한 게 아니라면 라마누잔 합에 대한 질문엔 대답하기 어렵다. 직관적이든 엄밀하든 신기하게도 결과는 똑같이 나오지만 직관적인 증명엔 허점이 많으며, 엄밀한 증명을 몇마디로 설명하기엔 너무 복잡하다.

증명

[1]2

$$ S := 1-1+1-1+ \cdots \qquad ( \text{Re} ) $$

라고 두면

$$ 1 - S = 1 - \left( 1-1+1-1+ \cdots \right) = 1-1+1-1+ \cdots = S \qquad ( \text{Re} ) $$

좌변의 $S$ 를 우변으로 넘기면

$$ 1 = 2S \qquad ( \text{Re} ) $$

따라서

$$ 1+1+1+1+ \cdots = S = {{ 1 } \over { 2 }} \qquad ( \text{Re} ) $$

[2]3

$$ S := 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \cdots \qquad ( \text{Re} ) $$

라고 두면

$$ \begin{align*} S =& 1 & - & 2 & + & 3 & - & 4 & + & 5 & - & 6 & + & \cdots \qquad ( \text{Re} ) \\ 2S =& & & 2 & - & 4 & + & 6 & - & 8 & + &10 & - & \cdots \qquad ( \text{Re} ) \\ S =& & & & & 1 & - & 2 & + & 3 & - & 4 & + & \cdots \qquad ( \text{Re} ) \end{align*} $$

이므로

$$ 4S := 1 + 0 + 0 + \cdots \qquad ( \text{Re} ) $$

따라서

$$ 1 - 2 + 3 - 4 + \cdots = {{ 1 } \over { 4 }} $$

[2]’

$$ S := 1 + 2+3+4+ \cdots \qquad ( \text{Re} ) $$

라고 두면 $$ \begin{align*} S =& 1 & + & 2 & + & 3 & + & 4 & + \cdots \qquad ( \text{Re} ) \\ 4S =& & & 4 & + & & + & 8 & + \cdots \qquad ( \text{Re} ) \\ S - 4S =& 1 & - & 2 & + & 3 & - & 4 & + \cdots \qquad ( \text{Re} ) \end{align*} $$

위의 정리 [2]에 따라 $\displaystyle S = {{ 1 } \over { 4 }}$ 이므로

$$ 1+2+3+4+ \cdots = - {{ 1 } \over { 12 }} \qquad ( \text{Re} ) $$


  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Grandi%27s_series ↩︎

  2. https://en.wikipedia.org/wiki/Grandi%27s_series ↩︎

  3. https://ko.wikipedia.org/wiki/1%E2%88%922%2B3%E2%88%924%2B%E2%80%A6 ↩︎

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